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【[[2>Category.2]]】[[数学 Mathematics>Category.2]] 【2.3】[[解析学>Category.2.3]] Analysis 【2.3.4】微積分 Calculus 【2.3.4.A】微分 Derivative 【2.3.4.A2】微分の計算 #contents ※ このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。 ※証明は別ページで行います。 *代表的な関数の微分 [#rbcbfd80] &mathjax{(x^n)'=nx^{n-1}}; &mathjax{(e^x)'=e^x}; &mathjax{(a^x)'= a^x \log a = a^x \ln{a}}; &mathjax{\displaystyle(\log x)'=\frac{1}{x}}; &mathjax{\displaystyle(\log |x|)'=\frac{1}{x}}; &mathjax{\displaystyle(\log a)'=\frac{1}{x \log a}=\frac{1}{x \ln{a}}}; &mathjax{(\sin x)' = \cos x}; &mathjax{(\cos x)'= -\sin x}; &mathjax{\displaystyle (\arcsin x)'= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}; &mathjax{\displaystyle (\arccos x)'= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}; &mathjax{\displaystyle (\arctan x)'= \frac{1}{1+x^2}}; &mathjax{}; *基本の計算 [#oed600e0] &mathjax{\alpha,\beta \in \mathbb{R} }; つまり、&mathjax{\alpha,\beta};を実数とする。 &mathjax{f(x),g(x)};が区間&mathjax{I};で微分可能であるとき、 区間Iについて (……と言っておかないと、微分不可能な場合にまではみ出てしまうので書く) -''加法の微分''(加減算の微分)&BR;&mathjax{(f+g)'=f'+g' \\ (f-g)'=f'-g' }; -''実数倍の微分''&BR;&mathjax{(\alpha f)'=\alpha f'}; -''微分の線形性''&BR;加法の微分と実数倍の微分を併せ、&BR;&mathjax{(\alpha f + \beta g)'=\alpha f' + \beta g'}; -''乗法の微分''&BR;&mathjax{(fg)'=f'g+fg'}; -''除法の微分''&BR;&mathjax{\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g+fg'}{g^2}}; *合成関数の微分 [#fa5863f7] 条件1『&mathjax{y=f(z)};が&mathjax{z};について微分可能』 条件2『&mathjax{z=g(x)};が&mathjax{x};について微分可能』 このとき、以下二つの結論が導ける。 |合成関数『&mathjax{y=f(g(x))};が&mathjax{x};について微分可能』| |CENTER:&mathjax{\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx}};| *逆関数の微分 [#q15bed95] |CENTER:''条件''| |&mathjax{y=f(x)};が微分可能である| |&mathjax{f'(x)>0};または&mathjax{f'(x)>0};&BR;つまり、&mathjax{f'(x)=0};になることがない。| |逆関数&mathjax{f^{-1}};が存在する。| このとき、 |CENTER:&mathjax{x=f^{-1}(y)};は微分可能で、微分係数は&BR;&BR;&mathjax{\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\left( \frac{dy}{dx} \right)} };| *媒介変数の微分 [#f694aa3a] |CENTER:''条件''| |&mathjax{x=f(t)};が微分可能| |&mathjax{y=g(t)};が微分可能| |逆関数&mathjax{t=f^{-1}(x)};が存在する| |逆関数&mathjax{t=f^{-1}(x)};が微分可能| このとき、 |&mathjax{\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\left( \frac{dy}{dt} \right)}{\left( \frac{dx}{dt} \right)}=\frac{g'(t)}{f'(t)} };| *その他テクニック [#pbfe4649] *Leibnizの公式 [#pbfe4649] |第一|&mathjax{(f+g)^{(n)}=f^{(n)}+g^{(n)}};| |第二|&mathjax{\displaystyle (fg)^{(n)}= \sum_{k=1}^n {}_n C_k f^{(n+1-k)}g^{(k)}};| *【対数微分法】 [#ldd03b17] &mathjax{y=f(x)};とし、 &mathjax{\log y = \log (f(x)) = g(x)};とするとき、 &mathjax{g(x)};が単純なら、 |&mathjax{(\log y)' = g'(x)};&BR;&BR;&mathjax{\displaystyle \frac{y'}{y} = g'(x)};&BR;&BR;&mathjax{\displaystyle y' = y \cdot g'(x)};&BR;&BR;&mathjax{\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x) g'(x)};| *コメント欄 [#afd0b6b3] #pcomment