マスクの資料保管庫
2.3.4.A2
【2】数学 Mathematics
【2.3】解析学 Analysis
【2.3.4】微積分 Calculus
【2.3.4.A】微分 Derivative
【2.3.4.A2】微分の計算
contents
※ このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。
※証明は別ページで行います。
代表的な関数の微分
\( (x^n)'=nx^{n-1} \)
\( (e^x)'=e^x \)
\( (a^x)'= a^x \log a = a^x \ln{a} \)
\( \displaystyle(\log x)'=\frac{1}{x} \)
\( \displaystyle(\log |x|)'=\frac{1}{x} \)
\( \displaystyle(\log a)'=\frac{1}{x \log a}=\frac{1}{x \ln{a}} \)
\( (\sin x)' = \cos x \)
\( (\cos x)'= -\sin x \)
\( \displaystyle (\arcsin x)'= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( \displaystyle (\arccos x)'= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( \displaystyle (\arctan x)'= \frac{1}{1+x^2} \)
基本の計算
\( \alpha,\beta \in \mathbb{R} \) つまり、\( \alpha,\beta \)を実数とする。
\( f(x),g(x) \)が区間\( I \)で微分可能であるとき、
区間Iについて
（……と言っておかないと、微分不可能な場合にまではみ出てしまうので書く）
- 加法の微分（加減算の微分）
\( (f+g)'=f'+g' \\ (f-g)'=f'-g' \)
- 実数倍の微分
\( (\alpha f)'=\alpha f' \)
- 微分の線形性
加法の微分と実数倍の微分を併せ、
\( (\alpha f + \beta g)'=\alpha f' + \beta g' \)
- 乗法の微分
\( (fg)'=f'g+fg' \)
- 除法の微分
\( \displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g+fg'}{g^2} \)
合成関数の微分
条件1『\( y=f(z) \)が\( z \)について微分可能』
条件2『\( z=g(x) \)が\( x \)について微分可能』
このとき、以下二つの結論が導ける。
| 合成関数『\( y=f(g(x)) \)が\( x \)について微分可能』 |
| \( \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx} \) |
逆関数の微分
| 条件 |
| \( y=f(x) \)が微分可能である |
| \( f'(x)>0 \)または\( f'(x)>0 \) つまり、\( f'(x)=0 \)になることがない。 |
| 逆関数\( f^{-1} \)が存在する。 |
このとき、
| \( x=f^{-1}(y) \)は微分可能で、微分係数は \( \displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\left( \frac{dy}{dx} \right)} \) |
媒介変数の微分
| 条件 |
| \( x=f(t) \)が微分可能 |
| \( y=g(t) \)が微分可能 |
| 逆関数\( t=f^{-1}(x) \)が存在する |
| 逆関数\( t=f^{-1}(x) \)が微分可能 |
このとき、
| \( \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\left( \frac{dy}{dt} \right)}{\left( \frac{dx}{dt} \right)}=\frac{g'(t)}{f'(t)} \) |
Leibnizの公式
| 第一 | \( (f+g)^{(n)}=f^{(n)}+g^{(n)} \) |
| 第二 | \( \displaystyle (fg)^{(n)}= \sum_{k=1}^n {}_n C_k f^{(n+1-k)}g^{(k)} \) |
【対数微分法】
\( y=f(x) \)とし、
\( \log y = \log (f(x)) = g(x) \)とするとき、
\( g(x) \)が単純なら、
| \( (\log y)' = g'(x) \) \( \displaystyle \frac{y'}{y} = g'(x) \) \( \displaystyle y' = y \cdot g'(x) \) \( \displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x) g'(x) \) |
pcomment
コメントはありません。 Comments/2.3.4.A2