2.3.4.A1 の変更点

• 追加された行はこの色です。
• 削除された行はこの色です。
• 2.3.4.A1 へ行く。

【2】[[数学]] Mathematics
【2.3】[[解析学]] Analysis
【2.3.4】微積分 Calculus
【2.3.4.A】微分 Derivative
【2.3.4.A1】微分の定義

#contents

※ このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。
※証明は別ページで行います。

*微分の定義 [#s8bc600f]

**微分可能 [#r729296f]

|&mathjax{y=f(x)};が&mathjax{x=a};付近で定義されていること。|
|&mathjax{\displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h}};　が有限値に存在すること。|

上二点を満たすとき、微分可能という。また上式の値を微分係数という。

// **右方微分可能、左方微分可能
// また、右側からだけ、左側だけ極限値が定義できる場合もあり、この値についても名前がついている。
**微分係数の図形的意味 [#w19488df]
微分係数の&mathjax{\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h}};の図形的意味を考えてみる。
&mathjax{h};を&mathjax{x};の増分、すなわち、&mathjax{\Delta x};と考えると、&mathjax{f(a+h)-f(a)};は&mathjax{y};の増分、すなわち&mathjax{\Delta y};と考えることができる。

そうすると、&mathjax{\displaystyle  \frac{f(a+h)-f(a)}{h}};　は 点&mathjax{(a,f(a))};と点&mathjax{(a+h,f(a+h))};の傾きとなる。

#ref(Derivative1.png)

&mathjax{h};を0に近づけると、傾きの線は点&mathjax{(a,f(a))};にピタッと寄り添う感じになる……
すなわち、点&mathjax{(a,f(a))};での接線の傾きとなる。



// *微分係数と連続



*導関数 [#d52b49e9]
微分係数&mathjax{f'(a)};を観察してみると、文字&mathjax{a};を&mathjax{x};に置き換えると、新たな関数が出来るように見える。

ここで、導関数の定義は、増分の考え方を用いて以下のようになる。

【&mathjax{x};で微分可能の定義】
前提として、
-関数 &mathjax{y=f(x)}; について、&mathjax{x}; は自由変数であり、&mathjax{y}; は&mathjax{x};の従属変数&BR;（つまり、&mathjax{x};によって&mathjax{y};の値が決まる。）
-&mathjax{x \to x+\Delta x \\ y \to y+\Delta y};&BR;ただし、&mathjax{y+\Delta y = f(x + \Delta x)};

このとき、&mathjax{x \to x+\Delta x};の平均変化率は次のように表せる。
|&mathjax{\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \sigma(x,\Delta x) };|
つまり、&mathjax{x};のみに依存する関数&mathjax{A(x)};と、
&mathjax{x,\Delta x};の両方に依存する&mathjax{\sigma(x,\Delta x)};で表せる。

このとき、『&mathjax{f(x)};で微分可能である』ことと、以下の条件が必要十分条件となる。
|&mathjax{\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \sigma(x,\Delta x) \\ \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \sigma(x,\Delta x) = 0 };|
また、このとき、&mathjax{A(x)=f'(x)};と書ける。
*参考 [#k1b43efc]
// [[解析学&BR;Nishitani Tatsuo｜大阪大学大学院理学研究科数学専攻・理学部数学科>http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nishitani/calculus.pdf]]

*コメント欄 [#afd0b6b3]
#pcomment