2.3.4.A1

【2】数学 Mathematics
【2.3】解析学 Analysis
【2.3.4】微積分 Calculus
【2.3.4.A】微分 Derivative
【2.3.4.A1】微分の定義

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※証明は別ページで行います。

微分の定義

微分可能

上二点を満たすとき、微分可能という。また上式の値を微分係数という。

微分係数の図形的意味

微分係数の\( \displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \)の図形的意味を考えてみる。
\( h \)を\( x \)の増分、すなわち、\( \Delta x \)と考えると、\( f(a+h)-f(a) \)は\( y \)の増分、すなわち\( \Delta y \)と考えることができる。

そうすると、\( \displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \)　は 点\( (a,f(a)) \)と点\( (a+h,f(a+h)) \)の傾きとなる。

ref

\( h \)を0に近づけると、傾きの線は点\( (a,f(a)) \)にピタッと寄り添う感じになる……
すなわち、点\( (a,f(a)) \)での接線の傾きとなる。

導関数

微分係数\( f'(a) \)を観察してみると、文字\( a \)を\( x \)に置き換えると、新たな関数が出来るように見える。

ここで、導関数の定義は、増分の考え方を用いて以下のようになる。

【\( x \)で微分可能の定義】
前提として、

• 関数 \( y=f(x) \) について、\( x \) は自由変数であり、\( y \) は\( x \)の従属変数
  （つまり、\( x \)によって\( y \)の値が決まる。）
• \( x \to x+\Delta x \\ y \to y+\Delta y \)
  ただし、\( y+\Delta y = f(x + \Delta x) \)

このとき、\( x \to x+\Delta x \)の平均変化率は次のように表せる。

つまり、\( x \)のみに依存する関数\( A(x) \)と、
\( x,\Delta x \)の両方に依存する\( \sigma(x,\Delta x) \)で表せる。

このとき、『\( f(x) \)で微分可能である』ことと、以下の条件が必要十分条件となる。

また、このとき、\( A(x)=f'(x) \)と書ける。

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