数列の極限 の変更点
Top > 数列の極限
- 追加された行はこの色です。
- 削除された行はこの色です。
- 数列の極限 へ行く。
【2】[[数学]] Mathematics 【2.3】[[解析学]] Analysis 【2.3.1】解析学基礎 【2.3.1.d】数列の極限 Limit of a sequence #contents ※1 このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。 ※2 この項で数列という場合、特に言わなくても無限数列のことを指します。 *とりあえず単位を取りたい [#fcb0eded] **数列の収束の証明の定型文[#geab78f8] &mathjax{\displaystyle \lim_{x \to \infty} a_n=a}; の証明:定型文 任意な &mathjax{ \epsilon>0 }; に対して、 1つの自然数を &mathjax{ N> ( \epsilon の式 ) }; となるようにとれば、 &mathjax{ n>N }; ならば、&mathjax{ | a_n - a | = \fbox{nの式} < \fbox{Nの式} <\epsilon }; &BR; **数列の無限大への発散の証明の定型文 [#b8fde983] &mathjax{ a_n が \infty に発散する証明:定型文}; 任意な &mathjax{ M>0 }; に対して、 1つの自然数を &mathjax{ N> ( \epsilon の式 ) }; となるようにとれば、 &mathjax{ n>N ならば、 | a_n - a | = \fbox{nの式} > \fbox{Nの式} >M }; *数列の極限 [#v4b0d5c3] 高校でも習った通り、数列の極限には以下のパターンがある。 -[[ある値に収束する>#converge]] -発散 --無限大に発散する --振動 この3パターンについて、より厳密に考える。 *数列の収束 [#converge] **収束の定義(ε-N論法) [#f52ac6e5] 高校レベルにおいては、数列の「収束」は、&BR; 「&mathjax{n};が限りなく大きくなると、 &mathjax{a_n}; がある値 &mathjax{\alpha};無限に近づくとき、 &mathjax{\alpha};に収束するという。」&BR; また、このとき、&BR; &mathjax{\displaystyle \lim_{x \to \infty} a_n= \alpha }; または&mathjax{ a_n \to \alpha ( x \to \infty )};と書ける。 しかし、これは厳密に考えると正確な表現とはいえない。 厳密な収束の定義は以下のようになる。 ---- 【ε-N論法(数列の収束の定義)】 「任意な正の &mathjax{\epsilon};について&color(Red){( &mathjax{ \forall \epsilon > 0 }; )}; 、 それに対して適切に &mathjax{N}; をとれば、&color(Red){( &mathjax{ \exists N \in \mathbb{N} }; )}; 、 &mathjax{N};より大きい全ての&mathjax{n}; に対して、&color(Red){( &mathjax{ \forall n > N }; )}; 、 &mathjax{|a_n - \alpha| < \epsilon}; とすることができる。 」 ---- **ε-N論法の意味 [#ec3794e9] 上のように収束の定義を言われて、すぐにこれを理解できるかというと、できる人はできるが、おそらく多くの人はちょっと厳しいのではないのだろうか。 というわけで、その意味を詳しく見ていく。 &mathjax{a_n};を直接扱うのはちょっと大変なので、&mathjax{|a_n-\alpha|};について考える。 もし、&mathjax{a_n};が&mathjax{\alpha};に収束すると考えると、下の図のようになる。 CENTER:収束する &mathjax{|a_n-\alpha|}; の一例。 #ref(NumericalSequence2.png,center) &mathjax{\epsilon};の値を適当に(サイコロでも振って)決めてみると、 上の図のようにグラフが波打ってれば、&mathjax{|a_n-\alpha|}; が&mathjax{\epsilon};を下回ることは複数回ある。 いっかい下回ったとしても、また&mathjax{\epsilon};より多くなりことも、ありうる。 しかし、もし、&mathjax{a_n};が収束する(つまり、nが大きくなるほど&mathjax{|a_n-\alpha|}; が0に近づいていく)なら、ここを最後に、二度と&mathjax{|a_n-\alpha|}; が&mathjax{\epsilon};よりも大きくならない、そんなポイントがあるはずだ……と考えてみる。 そのポイントが上図のNであり、Nより先のnについては、必ず&mathjax{|a_n-\alpha|};は&mathjax{\epsilon};より小さくなっている。 また(サイコロでも振りなおして)&mathjax{\epsilon}; の値を決めてやる。 そうすると、うまーくNの値を取ってやれば、同じように、Nから先は、&mathjax{\epsilon}; より小さいようにすることができる。 &mathjax{\epsilon}; をどんなにいじっても、どんなに小さくしても、うまーくNを決めてしまえば、Nから先は、&mathjax{\epsilon}; より小さい……これが収束である。 とはいえ、&mathjax{\epsilon}; が変わる度にNを定めていては、無限に証明を書く羽目になってしまう。そこで、Nを&mathjax{\epsilon}; の式で書いてみてはどうだろうか?(次章へ続く!) **数列の収束の証明の定型文[#geab78f8] では、実際に具体的な&mathjax{a_n};を与えられたとき、証明する手続きを考えてみると、「うまーくNを、&mathjax{\epsilon}; の式で表したら、&mathjax{ | a_n - \alpha |}; が&mathjax{\epsilon};より小さくなった。」 というふうになる。これをちゃんと書けば、 ---- 【&mathjax{\displaystyle \lim_{x \to \infty} a_n=a}; の証明:定型文 】 任意な &mathjax{ \epsilon>0 }; に対して、 1つの自然数を &mathjax{ N> ( \epsilon の式 ) }; となるようにとれば、 &mathjax{ n>N }; ならば、&mathjax{ | a_n - \alpha | = \fbox{nの式} < \fbox{Nの式} <\epsilon }; ---- このとき、具体的な&mathjax{a_n};が与えられていれば、 &mathjax{ | a_n - \alpha | = \fbox{nの式} < \fbox{Nの式} <\epsilon }; の部分は単純な式変形で決められる。 そして、&mathjax{ N> ( \epsilon の式 ) };は、&mathjax{ \fbox{Nの式} <\epsilon }; を式変形すれば書ける。 **実際に使ってみる [#j3623a08] 【問題:&mathjax{\displaystyle a_n= \frac{1}{n} }; の極限を求めよ】 【考え方】 &mathjax{\displaystyle | a_n - \alpha | }; &mathjax{\displaystyle = |\frac{1}{n}-0|}; &mathjax{\displaystyle = \frac{1}{n} }; …… &color(Red){&mathjax{\displaystyle N<n };より、}; &mathjax{\displaystyle \frac{1}{n} < \frac{1}{N} <\epsilon}; よって、式変形すると、 &mathjax{\displaystyle N > \frac{1}{\epsilon} }; これで、&mathjax{\epsilon};の式が求まったので、証明文は以下のように書ける。 ---- 【&mathjax{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{n}=0}; の証明】 任意な &mathjax{ \epsilon>0 }; に対して、 1つの自然数を &mathjax{\displaystyle N> \frac{1}{\epsilon} }; となるようにとれば、 &mathjax{ n>N }; ならば、&mathjax{\displaystyle | a_n - \alpha | = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} <\epsilon }; ---- *数列が無限大へ発散する [#s0256564] **無限大へ発散の定義 [#g0cf030f] これも &mathjax{\epsilon - N}; 論法と似たような考え方をする。 ただし、収束の時には 「&mathjax{\epsilon};より小さい」を考えたが、 無限大への発散の時には「Mより大きい」を考える。 ※文字を変えるのは気分の問題。&mathjax{\epsilon};は小さい数の印象があるため、別の文字を用意した。Mではなくて、Kなどを使う時もある。 【数列の無限大へ発散の定義】 「任意な正の実数Mについて&color(Red){( &mathjax{ \forall M > 0 }; )}; 、 それに対して適切に &mathjax{N}; をとれば、&color(Red){( &mathjax{ \exists N \in \mathbb{N} }; )}; 、 &mathjax{N};より大きい全ての&mathjax{n}; に対して、&color(Red){( &mathjax{ \forall n > N }; )}; 、 &mathjax{|a_n - \alpha| > M}; とすることができる。 」 **数列の無限大への発散の証明の定型文 [#eeff27b4] &mathjax{ a_n が \infty に発散する証明:定型文}; 任意な &mathjax{ M>0 }; に対して、 1つの自然数を &mathjax{ N> ( \epsilon の式 ) }; となるようにとれば、 &mathjax{ n>N ならば、 | a_n - a | = \fbox{nの式} > \fbox{Nの式} >M }; *ここから先編集中 [#j8f527ff] *参考 [#r03e98db] [[ε-N 論法を使った証明について&BR; 4 月18日 清野和彦 >https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/kiyono/13_odat-01b.pdf]] -[[ε-N 論法を使った証明について&BR; 4 月18日 清野和彦 >https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/kiyono/13_odat-01b.pdf]] *コメント欄 [#h4618324] #pcomment