数列の極限

【2】数学 Mathematics
【2.3】解析学 Analysis
【2.3.1】解析学基礎
【2.3.1.d】数列の極限 Limit of a sequence

※1 このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。

※2 この項で数列という場合、特に言わなくても無限数列のことを指します。

とりあえず単位を取りたい

数列の収束の証明の定型文

\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} a_n=a \) の証明：定型文

任意な \( \epsilon>0 \) に対して、

1つの自然数を \( N> ( \epsilon の式 ) \) 　となるようにとれば、

\( n>N \) ならば、\( | a_n - a | = \fbox{nの式} < \fbox{Nの式} <\epsilon \)

数列の無限大への発散の証明の定型文

\( a_n が \infty に発散する証明：定型文 \)

任意な \( M>0 \) に対して、

1つの自然数を \( N> ( \epsilon の式 ) \) 　となるようにとれば、

\( n>N ならば、 | a_n - a | = \fbox{nの式} > \fbox{Nの式} >M \)

数列の極限

高校でも習った通り、数列の極限には以下のパターンがある。

• ある値に収束する
• 発散
  • 無限大に発散する
  • 振動

この3パターンについて、より厳密に考える。

数列の収束

収束の定義（ε-N論法）

高校レベルにおいては、数列の「収束」は、

「\( n \)が限りなく大きくなると、 \( a_n \) がある値 \( \alpha \)無限に近づくとき、 \( \alpha \)に収束するという。」

また、このとき、

\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} a_n= \alpha \) または\( a_n \to \alpha ( x \to \infty ) \)と書ける。

しかし、これは厳密に考えると正確な表現とはいえない。
厳密な収束の定義は以下のようになる。

【ε-N論法（数列の収束の定義）】　
「任意な正の \( \epsilon \)について（ \( \forall \epsilon > 0 \) ） 、
それに対して適切に \( N \) をとれば、（ \( \exists N \in \mathbb{N} \) ） 、
\( N \)より大きい全ての\( n \) に対して、（ \( \forall n > N \) ） 、
\( |a_n - \alpha| < \epsilon \) とすることができる。 」

ε-N論法の意味

上のように収束の定義を言われて、すぐにこれを理解できるかというと、できる人はできるが、おそらく多くの人はちょっと厳しいのではないのだろうか。
というわけで、その意味を詳しく見ていく。

\( a_n \)を直接扱うのはちょっと大変なので、\( |a_n-\alpha| \)について考える。
もし、\( a_n \)が\( \alpha \)に収束すると考えると、下の図のようになる。

ref

\( \epsilon \)の値を適当に（サイコロでも振って）決めてみると、
上の図のようにグラフが波打ってれば、\( |a_n-\alpha| \) が\( \epsilon \)を下回ることは複数回ある。
いっかい下回ったとしても、また\( \epsilon \)より多くなりことも、ありうる。
しかし、もし、\( a_n \)が収束する（つまり、nが大きくなるほど\( |a_n-\alpha| \) が0に近づいていく）なら、ここを最後に、二度と\( |a_n-\alpha| \) が\( \epsilon \)よりも大きくならない、そんなポイントがあるはずだ……と考えてみる。

そのポイントが上図のNであり、Nより先のnについては、必ず\( |a_n-\alpha| \)は\( \epsilon \)より小さくなっている。

また（サイコロでも振りなおして）\( \epsilon \) の値を決めてやる。
そうすると、うまーくNの値を取ってやれば、同じように、Nから先は、\( \epsilon \) より小さいようにすることができる。

\( \epsilon \) をどんなにいじっても、どんなに小さくしても、うまーくNを決めてしまえば、Nから先は、\( \epsilon \) より小さい……これが収束である。

とはいえ、\( \epsilon \) が変わる度にNを定めていては、無限に証明を書く羽目になってしまう。そこで、Nを\( \epsilon \) の式で書いてみてはどうだろうか？（次章へ続く！）

数列の収束の証明の定型文

では、実際に具体的な\( a_n \)を与えられたとき、証明する手続きを考えてみると、「うまーくNを、\( \epsilon \) の式で表したら、\( | a_n - \alpha | \) が\( \epsilon \)より小さくなった。」 というふうになる。これをちゃんと書けば、

【\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} a_n=a \) の証明：定型文 】
任意な \( \epsilon>0 \) に対して、
1つの自然数を \( N> ( \epsilon の式 ) \) 　となるようにとれば、
\( n>N \) ならば、\( | a_n - \alpha | = \fbox{nの式} < \fbox{Nの式} <\epsilon \)

このとき、具体的な\( a_n \)が与えられていれば、
\( | a_n - \alpha | = \fbox{nの式} < \fbox{Nの式} <\epsilon \)
の部分は単純な式変形で決められる。
そして、\( N> ( \epsilon の式 ) \)は、\( \fbox{Nの式} <\epsilon \) を式変形すれば書ける。

実際に使ってみる

【問題：\( \displaystyle a_n= \frac{1}{n} \) の極限を求めよ】

【考え方】
\( \displaystyle | a_n - \alpha | \) \( \displaystyle = |\frac{1}{n}-0| \) \( \displaystyle = \frac{1}{n} \)

……　\( \displaystyle N<n \)より、

\( \displaystyle \frac{1}{n} < \frac{1}{N} <\epsilon \)

よって、式変形すると、

\( \displaystyle N > \frac{1}{\epsilon} \)

これで、\( \epsilon \)の式が求まったので、証明文は以下のように書ける。

【\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{n}=0 \) の証明】
任意な \( \epsilon>0 \) に対して、
1つの自然数を \( \displaystyle N> \frac{1}{\epsilon} \) 　となるようにとれば、
\( n>N \) ならば、\( \displaystyle | a_n - \alpha | = \frac{1}{n} < \frac{1}{N} <\epsilon \)

数列が無限大へ発散する

無限大へ発散の定義

これも \( \epsilon - N \) 論法と似たような考え方をする。
ただし、収束の時には 「\( \epsilon \)より小さい」を考えたが、
無限大への発散の時には「Mより大きい」を考える。

※文字を変えるのは気分の問題。\( \epsilon \)は小さい数の印象があるため、別の文字を用意した。Mではなくて、Kなどを使う時もある。

【数列の無限大へ発散の定義】　
「任意な正の実数Mについて（ \( \forall M > 0 \) ） 、
それに対して適切に \( N \) をとれば、（ \( \exists N \in \mathbb{N} \) ） 、
\( N \)より大きい全ての\( n \) に対して、（ \( \forall n > N \) ） 、
\( |a_n - \alpha| > M \) とすることができる。 」

数列の無限大への発散の証明の定型文

\( a_n が \infty に発散する証明：定型文 \)

任意な \( M>0 \) に対して、

1つの自然数を \( N> ( \epsilon の式 ) \) 　となるようにとれば、

\( n>N ならば、 | a_n - a | = \fbox{nの式} > \fbox{Nの式} >M \)

ここから先編集中

参考

• ε-N 論法を使った証明について
  4 月18日 清野和彦

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