多変量正規分布 の変更点

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**多変量正規分布の基本情報 [#k51a003c]
:母平均ベクトル：&mathjax{\boldsymbol{\mu}};|それぞれの確率ベクトルの成分に対する平均
:分散共分散行列：&mathjax{\Sigma};|&mathjax{i};行&mathjax{i};列が確率ベクトルの&mathjax{i};番目の成分の分散になっている。&BR;また、&mathjax{i \neq j};のとき、 &mathjax{i};行&mathjax{j};列が確率ベクトルの&mathjax{i};番目の成分と&mathjax{j};番目の成分共分散となっている。


:同時確率密度関数|&mathjax{\large \displaystyle \frac{1}{\sqrt{(2\pi)}^m \sqrt{|\Sigma|}} \exp \left( -\frac{1}{2} (\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}) \right)};

:最尤推定値|&mathjax{\large \displaystyle \boldsymbol{\hat \mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{x}_i = \overline{\mathbf{x}} \\ \large \displaystyle \hat \Sigma = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( \mathbf{x}_i - \overline{\mathbf{x}} ) ( \mathbf{x}_i -  \overline{\mathbf{x}} )^T};

:&mathjax{\boldsymbol{\mu}};の不偏推定値|&mathjax{\large \displaystyle \boldsymbol{\hat \mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{x}_i = \overline{\mathbf{x}} };

:&mathjax{\Sigma};の不偏推定値（&mathjax{\boldsymbol{\mu}};がわかっている場合）|&mathjax{\large \displaystyle \Sigma = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( \mathbf{x}_i - \boldsymbol{\mu} ) ( \mathbf{x}_i -  \boldsymbol{\mu} )^T};
:&mathjax{\Sigma};の不偏推定値（&mathjax{\boldsymbol{\mu}};がわかっている場合）|&mathjax{\large \displaystyle \hat \Sigma = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( \mathbf{x}_i - \boldsymbol{\mu} ) ( \mathbf{x}_i -  \boldsymbol{\mu} )^T};

:&mathjax{\Sigma};の不偏推定値（&mathjax{\boldsymbol{\mu}};が不明な場合）|&mathjax{\large \displaystyle \Sigma = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n ( \mathbf{x}_i - \boldsymbol{\hat \mu} ) ( \mathbf{x}_i -  \boldsymbol{\hat \mu} )^T};
:&mathjax{\Sigma};の不偏推定値（&mathjax{\boldsymbol{\mu}};が不明な場合）|&mathjax{\large \displaystyle \hat \Sigma = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n ( \mathbf{x}_i - \boldsymbol{\hat \mu} ) ( \mathbf{x}_i -  \boldsymbol{\hat \mu} )^T};
**参考 [#mbb543a5]
:数学ライブラリー32 多変量解析入門 (P141～P146)|著：河口至商&BR;発行者：森北出版&BR;第1版第1刷発行：1973年06月20日&BR;第1版第4刷発行：1973年08月10日