多変量正規分布

Last-modified: Tue, 14 May 2019 11:01:51 JST (506d)
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多変量正規分布の基本情報

母平均ベクトル:\( \boldsymbol{\mu} \)
それぞれの確率ベクトルの成分に対する平均
分散共分散行列:\( \Sigma \)
\( i \)\( i \)列が確率ベクトルの\( i \)番目の成分の分散になっている。
また、\( i \neq j \)のとき、 \( i \)\( j \)列が確率ベクトルの\( i \)番目の成分と\( j \)番目の成分共分散となっている。
同時確率密度関数
\( \large \displaystyle \frac{1}{\sqrt{(2\pi)}^m \sqrt{|\Sigma|}} \exp \left( -\frac{1}{2} (\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}) \right) \)
最尤推定値
\( \large \displaystyle \boldsymbol{\hat \mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{x}_i = \overline{\mathbf{x}} \\ \large \displaystyle \hat \Sigma = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( \mathbf{x}_i - \overline{\mathbf{x}} ) ( \mathbf{x}_i - \overline{\mathbf{x}} )^T \)
\( \boldsymbol{\mu} \)の不偏推定値
\( \large \displaystyle \boldsymbol{\hat \mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{x}_i = \overline{\mathbf{x}} \)
\( \Sigma \)の不偏推定値(\( \boldsymbol{\mu} \)がわかっている場合)
\( \large \displaystyle \hat \Sigma = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( \mathbf{x}_i - \boldsymbol{\mu} ) ( \mathbf{x}_i - \boldsymbol{\mu} )^T \)
\( \Sigma \)の不偏推定値(\( \boldsymbol{\mu} \)が不明な場合)
\( \large \displaystyle \hat \Sigma = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n ( \mathbf{x}_i - \boldsymbol{\hat \mu} ) ( \mathbf{x}_i - \boldsymbol{\hat \mu} )^T \)

参考

数学ライブラリー32 多変量解析入門 (P141~P146)
著:河口至商
発行者:森北出版
第1版第1刷発行:1973年06月20日
第1版第4刷発行:1973年08月10日