2.3.4.A2 のバックアップソース(No.3)

【[[2>Category.2]]】[[数学 Mathematics>Category.2]]
【2.3】[[解析学>Category.2.3]] Analysis
【2.3.4】微積分 Calculus
【2.3.4.A】微分 Derivative
【2.3.4.A2】微分の計算

#contents

※ このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。
※証明は別ページで行います。

*代表的な関数の微分 [#rbcbfd80]

&mathjax{(x^n)'=nx^{n-1}};

&mathjax{(e^x)'=e^x};

&mathjax{(a^x)'= a^x \log a = a^x  \ln{a}};

&mathjax{\displaystyle(\log x)'=\frac{1}{x}};

&mathjax{\displaystyle(\log |x|)'=\frac{1}{x}};

&mathjax{\displaystyle(\log a)'=\frac{1}{x \log a}=\frac{1}{x \ln{a}}};

&mathjax{(\sin x)' = \cos x};

&mathjax{(\cos x)'= -\sin x};

&mathjax{\displaystyle (\arcsin x)'= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}};

&mathjax{\displaystyle (\arccos x)'= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}};

&mathjax{\displaystyle (\arctan x)'= \frac{1}{1+x^2}};

&mathjax{};

*基本の計算 [#oed600e0]
&mathjax{\alpha,\beta \in \mathbb{R} }; つまり、&mathjax{\alpha,\beta};を実数とする。
&mathjax{f(x),g(x)};が区間&mathjax{I};で微分可能であるとき、
区間Iについて
（……と言っておかないと、微分不可能な場合にまではみ出てしまうので書く）

-''加法の微分''（加減算の微分）&BR;&mathjax{(f+g)'=f'+g' \\ (f-g)'=f'-g' };

-''実数倍の微分''&BR;&mathjax{(\alpha f)'=\alpha f'};

-''微分の線形性''&BR;加法の微分と実数倍の微分を併せ、&BR;&mathjax{(\alpha f + \beta g)'=\alpha f' + \beta g'};

-''乗法の微分''&BR;&mathjax{(fg)'=f'g+fg'};

-''除法の微分''&BR;&mathjax{\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g+fg'}{g^2}};


*合成関数の微分 [#fa5863f7]
条件1『&mathjax{y=f(z)};が&mathjax{z};について微分可能』
条件2『&mathjax{z=g(x)};が&mathjax{x};について微分可能』

このとき、以下二つの結論が導ける。
|合成関数『&mathjax{y=f(g(x))};が&mathjax{x};について微分可能』|
|CENTER:&mathjax{\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx}};|


*逆関数の微分 [#q15bed95]
|CENTER:''条件''|
|&mathjax{y=f(x)};が微分可能である|
|&mathjax{f'(x)>0};または&mathjax{f'(x)>0};&BR;つまり、&mathjax{f'(x)=0};になることがない。|
|逆関数&mathjax{f^{-1}};が存在する。|
このとき、
|CENTER:&mathjax{x=f^{-1}(y)};は微分可能で、微分係数は&BR;&BR;&mathjax{\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\left( \frac{dy}{dx} \right)} };|

*媒介変数の微分 [#f694aa3a]
|CENTER:''条件''|
|&mathjax{x=f(t)};が微分可能|
|&mathjax{y=g(t)};が微分可能|
|逆関数&mathjax{t=f^{-1}(x)};が存在する|
|逆関数&mathjax{t=f^{-1}(x)};が微分可能|

このとき、

|&mathjax{\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{\left( \frac{dy}{dt} \right)}{\left( \frac{dx}{dt} \right)}=\frac{g'(t)}{f'(t)} };|
*その他テクニック [#pbfe4649]
**【対数微分法】 [#ldd03b17]
&mathjax{y=f(x)};とし、
&mathjax{\log y = \log (f(x)) = g(x)};とするとき、
&mathjax{g(x)};が単純なら、

|&mathjax{(\log y)' = g'(x)};&BR;&BR;&mathjax{\displaystyle \frac{y'}{y} = g'(x)};&BR;&BR;&mathjax{\displaystyle y' = y \cdot g'(x)};&BR;&BR;&mathjax{\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x) g'(x)};|

*コメント欄 [#afd0b6b3]
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