【2】[[数学]] Mathematics
【2.3】[[解析学]] Analysis
【2.3.4】微積分 Calculus
【2.3.4.A】微分 Derivative
【2.3.4.A2】微分の計算
#contents
※ このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。
※証明は別ページで行います。
*代表的な関数の微分 [#rbcbfd80]
&mathjax{(x^n)'=nx^{n-1}};
&mathjax{(e^x)'=e^x};
&mathjax{(a^x)'= a^x \log a = a^x \ln{a}};
&mathjax{\displaystyle(\log x)'=\frac{1}{x}};
&mathjax{\displaystyle(\log |x|)'=\frac{1}{x}};
&mathjax{\displaystyle(\log a)'=\frac{1}{x \log a}=\frac{1}{x \ln{a}}};
&mathjax{(\sin x)' = \cos x};
&mathjax{(\cos x)'= -\sin x};
&mathjax{\displaystyle (\arcsin x)'= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}};
&mathjax{\displaystyle (\arccos x)'= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}};
&mathjax{\displaystyle (\arctan x)'= \frac{1}{1+x^2}};
&mathjax{};
*基本の計算 [#oed600e0]
&mathjax{\alpha,\beta \in \mathbb{R} }; つまり、&mathjax{\alpha,\beta};を実数とする。
&mathjax{f(x),g(x)};が区間&mathjax{I};で微分可能であるとき、
区間Iについて
(……と言っておかないと、微分不可能な場合にまではみ出てしまうので書く)
-''加法の微分''(加減算の微分)&BR;&mathjax{(f+g)'=f'+g' \\ (f-g)'=f'-g' };
-''実数倍の微分''&BR;&mathjax{(\alpha f)'=\alpha f'};
-''微分の線形性''&BR;加法の微分と実数倍の微分を併せ、&BR;&mathjax{(\alpha f + \beta g)'=\alpha f' + \beta g'};
-''乗法の微分''&BR;&mathjax{(fg)'=f'g+fg'};
-''除法の微分''&BR;&mathjax{\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g+fg'}{g^2}};
*合成関数の微分 [#fa5863f7]
条件1『&mathjax{y=f(z)};が&mathjax{z};について微分可能』
条件2『&mathjax{z=g(x)};が&mathjax{x};について微分可能』
このとき、以下二つの結論が導ける。
|合成関数『&mathjax{y=f(g(x))};が&mathjax{x};について微分可能』|
|CENTER:&mathjax{\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx}};|
*逆関数の微分 [#q15bed95]
|CENTER:''条件''|
|&mathjax{y=f(x)};が微分可能である|
|&mathjax{f'(x)>0};または&mathjax{f'(x)>0};&BR;つまり、&mathjax{f'(x)=0};になることがない。|
|逆関数&mathjax{f^{-1}};が存在する。|
このとき、
|CENTER:&mathjax{x=f^{-1}(y)};は微分可能で、微分係数は&BR;&BR;&mathjax{\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\left( \frac{dy}{dx} \right)} };|
*媒介変数の微分 [#f694aa3a]
*その他テクニック [#pbfe4649]
対数微分法
*以下執筆中 [#xce7ba7e]
*コメント欄 [#afd0b6b3]
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