マスクの資料保管庫
2.3.4.A1 のバックアップの現在との差分(No.6)
【2】数学 Mathematics
【2.3】解析学 Analysis
【2.3.2】微積分 Calculus
【2.3.2.a】微分 Derivative
【2.3.4】微積分 Calculus
【2.3.4.A】微分 Derivative
【2.3.4.A1】微分の定義
contents
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※証明は別ページで行います。
微分の定義
微分可能
『1』\( y=f(x) \)が\( x=a \)付近で定義されていること。
| \( y=f(x) \)が\( x=a \)付近で定義されていること。 |
| \( \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \) が有限値に存在すること。 |
『2』\( \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \) が有限値に存在すること。
上二点を満たすとき、微分可能という。また上式の値を微分係数という。
微分係数の図形的意味
微分係数の\( \displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \)の図形的意味を考えてみる。
\( h \)を\( x \)の増分、すなわち、\( \Delta x \)と考えると、\( f(a+h)-f(a) \)は\( y \)の増分、すなわち\( \Delta y \)と考えることができる。
そうすると、\( \displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \) は 点\( (a,f(a)) \)と点\( (a+h,f(a+h)) \)の傾きとなる。
ref
\( h \)を0に近づけると、傾きの線は点\( (a,f(a)) \)にピタッと寄り添う感じになる……
すなわち、点\( (a,f(a)) \)での接線の傾きとなる。
導関数
微分係数\( f'(a) \)を観察してみると、文字\( a \)を\( x \)に置き換えると、新たな関数が出来るように見える。
ここで、導関数の定義は、増分の考え方を用いて以下のようになる。
【\( x \)で微分可能の定義】
前提として、
- 関数 \( y=f(x) \) について、\( x \) は自由変数であり、\( y \) は\( x \)の従属変数（つまり、\( x \)によって\( y \)の値が決まる。）
- 関数 \( y=f(x) \) について、\( x \) は自由変数であり、\( y \) は\( x \)の従属変数
（つまり、\( x \)によって\( y \)の値が決まる。） - \( x \to x+\Delta x \\ y \to y+\Delta y \)
ただし、\( y+\Delta y = f(x + \Delta x) \)
＜ここちょっと工事中です。＞
このとき、\( x \to x+\Delta x \)の平均変化率は次のように表せる。
| \( \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \sigma(x,\Delta x) \) |
つまり、\( x \)のみに依存する関数\( A(x) \)と、
\( x,\Delta x \)の両方に依存する\( \sigma(x,\Delta x) \)で表せる。
このとき、『\( f(x) \)で微分可能である』ことと、以下の条件が必要十分条件となる。
| \( \displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \sigma(x,\Delta x) \\ \displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \sigma(x,\Delta x) = 0 \) |
また、このとき、\( A(x)=f'(x) \)と書ける。
導関数の計算
【代表的な関数の微分】
\( (x^n)'=nx^{n-1} \)
\( (e^x)'=e^x \)
\( (a^x)'= a^x \log a = a^x \ln{a} \)
\( \displaystyle(\log x)'=\frac{1}{x} \)
\( \displaystyle(\log |x|)'=\frac{1}{x} \)
\( \displaystyle(\log a)'=\frac{1}{x \log a}=\frac{1}{x \ln{a}} \)
\( (\sin x)' = \cos x \)
\( (\cos x)'= -\sin x \)
\( \displaystyle (\arcsin x)'= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)
\( \displaystyle (\arctan x)'= \frac{1}{1+x^2} \)
【基本の計算】
\( k \in \mathbb{R} \) つまり、\( k \)を実数とする。
\( f(x),g(x) \)が区間\( I \)で微分可能であるとき、
区間Iについて
（……と言っておかないと、微分不可能な場合にまではみ出てしまうので書く）
- 加法の微分（加減算の微分）
\( (f+g)'=f'+g' \\ (f-g)'=f'-g' \)
- 実数倍の微分
\( (kf)=kf' \)
- 乗法の微分
\( (fg)'=f'g+fg' \)
- 除法の微分
\( \displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g+fg'}{g^2} \)
【合成関数の微分】
条件1『\( y=f(z) \)が\( z \)について微分可能』
条件2『\( z=g(x) \)が\( x \)について微分可能』
このとき、以下二つの結論が導ける。
| 合成関数『\( y=f(g(x)) \)が\( x \)について微分可能』 |
| \( \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx} \) |
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