2.3.4.A1 のバックアップ差分(No.5)

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【2】[[数学]] Mathematics
【2.3】[[解析学]] Analysis
【2.3.2】微積分 Calculus
【2.3.2.a】微分 Derivative

#contents

※ このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。

*微分の定義 [#s8bc600f]

**微分可能 [#r729296f]

『1』&mathjax{y=f(x)};が&mathjax{x=a};付近で定義されていること。

『2』&mathjax{\displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h}};　が有限値に存在すること。

上二点を満たすとき、微分可能という。また上式の値を微分係数という。

// **右方微分可能、左方微分可能
// また、右側からだけ、左側だけ極限値が定義できる場合もあり、この値についても名前がついている。


**微分係数の図形的意味 [#w19488df]
微分係数の&mathjax{\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h}};の図形的意味を考えてみる。
&mathjax{h};を&mathjax{x};の増分、すなわち、&mathjax{\Delta x};と考えると、&mathjax{f(a+h)-f(a)};は&mathjax{y};の増分、すなわち&mathjax{\Delta y};と考えることができる。

そうすると、&mathjax{\displaystyle  \frac{f(a+h)-f(a)}{h}};　は 点&mathjax{(a,f(a))};と点&mathjax{(a+h,f(a+h))};の傾きとなる。

#ref(Derivative1.png)

&mathjax{h};を0に近づけると、傾きの線は点&mathjax{(a,f(a))};にピタッと寄り添う感じになる……
すなわち、点&mathjax{(a,f(a))};での接線の傾きとなる。



// *微分係数と連続



*導関数 [#d52b49e9]
微分係数&mathjax{f'(a)};を観察してみると、文字&mathjax{a};を&mathjax{x};に置き換えると、新たな関数が出来るように見える。

ここで、導関数の定義は、増分の考え方を用いて以下のようになる。

【&mathjax{x};で微分可能の定義】
前提として、
-関数 &mathjax{y=f(x)}; について、&mathjax{x}; は自由変数であり、&mathjax{y}; は&mathjax{x};の従属変数（つまり、&mathjax{x};によって&mathjax{y};の値が決まる。）
-&mathjax{x \to x+\Delta x \\ y \to y+\Delta y};&BR;ただし、&mathjax{y+\Delta y = f(x + \Delta x)};
 
&color(Red){＜ここちょっと工事中です。＞};



// &mathjax{\displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h}};
// **導関数の例 [#f5bc8f10]
*導関数の計算 [#uf2438eb]
**【代表的な関数の微分】 [#rbcbfd80]

&mathjax{(x^n)'=nx^(n-1)};

&mathjax{(e^x)'=e^x};

&mathjax{(a^x)'= \log a \cdot a^x};
※別表記：&mathjax{ \ln{a} \cdot a^x  };
&mathjax{(a^x)'= a^x \log a = a^x  \ln{a}};

&mathjax{};
&mathjax{\displaystyle(\log x)=\frac{1}{x}};

&mathjax{};
&mathjax{\displaystyle(\log a)=\frac{1}{x \log a}=\frac{1}{x \ln{a}}};

&mathjax{};
&mathjax{(\sin x)' = \cos x};

&mathjax{(\cos x)'= -\sin x};

&mathjax{};

&mathjax{};
**【基本の計算】 [#oed600e0]
&mathjax{k \in \mathbb{R} }; つまり、&mathjax{k};を実数とする。
&mathjax{f(x),g(x)};が区間&mathjax{I};で微分可能であるとき、
区間Iについて
（……と言っておかないと、微分不可能な場合にまではみ出てしまうので書く）

-''加法の微分''（加減算の微分）&BR;&mathjax{(f+g)'=f'+g' \\ (f-g)'=f'-g' };

-''実数倍の微分''&BR;&mathjax{(kf)=kf'};

-''乗法の微分''&BR;&mathjax{(fg)'=f'g+fg'};

-''除法の微分''&BR;&mathjax{\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g+fg'}{g^2}};
**【合成関数の微分】 [#fa5863f7]
*以下執筆中 [#xce7ba7e]
*参考 [#k1b43efc]
[[解析学&BR;Nishitani Tatsuo｜大阪大学大学院理学研究科数学専攻・理学部数学科>http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~nishitani/calculus.pdf]]


*コメント欄 [#afd0b6b3]
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