数列の極限 のバックアップソース(No.1)

【2】[[数学]] Mathematics
【2.3】[[解析学]]
【2.3.1】解析学基礎
【2.3.1.d】数列の極限 Limit of a sequence
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※1 このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。


※2 この項で数列という場合、特に言わなくても無限数列のことを指します。




*とりあえず単位を取りたい [#fcb0eded]

**■&mathjax{\displaystyle \lim_{x \to \infty} a_n=a}; の証明：定型文 [#geab78f8]

任意な &mathjax{ \epsilon>0 }; に対して、

1つの自然数を &mathjax{ N> ( \epsilon の式 ) }; 　となるようにとれば、

&mathjax{ n>N }; ならば、&mathjax{ | a_n - a | =  \fbox{nの式} < \fbox{Nの式} <\epsilon };


&BR;


**■&mathjax{ a_n が \infty に発散する証明：定型文}; [#jb4e30a8]

任意な &mathjax{ M>0 }; に対して、

1つの自然数を &mathjax{ N> ( \epsilon の式 ) }; 　となるようにとれば、

&mathjax{ n>N ならば、  | a_n - a | =  \fbox{nの式} > \fbox{Nの式} >M };





*収束 [#n621f821]

高校レベルにおいては、数列の「収束」は、&BR;
「&mathjax{n};が限りなく大きくなると、 &mathjax{a_n}; がある値 &mathjax{\alpha};無限に近づくとき、 &mathjax{\alpha};に収束するという。」&BR;
また、このとき、&BR;
&mathjax{\displaystyle \lim_{x \to \infty} a_n= \alpha }; &BR;
または&BR;
&mathjax{ a_n \to \alpha ( x \to \infty )};&BR;
と書ける。

しかし、これは厳密に考えると正確な表現とはいえない。
厳密な定義は以下のようになる。

「任意な正の &mathjax{\epsilon};について&color(Red){（ &mathjax{ \forall \epsilon  > 0 }; ）}; 、
それに対して適切に &mathjax{N}; をとれば、&color(Red){（ &mathjax{ \exists N \in \mathbb{N} }; ）}; 、
&mathjax{N};より大きい全ての&mathjax{n}; に対して、&color(Red){（ &mathjax{ \forall n > N  }; ）}; 、
&mathjax{|a_n - \alpha| < \epsilon}; とすることができる。  」


*ここから先編集中 [#j8f527ff]