2.3.4.A1 のバックアップ(No.5)

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【2】数学 Mathematics
【2.3】解析学 Analysis
【2.3.2】微積分 Calculus
【2.3.2.a】微分 Derivative

※ このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。

微分の定義

微分可能

『1』\( y=f(x) \)が\( x=a \)付近で定義されていること。

『2』\( \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \)　が有限値に存在すること。

上二点を満たすとき、微分可能という。また上式の値を微分係数という。

微分係数の図形的意味

微分係数の\( \displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0 } \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \)の図形的意味を考えてみる。
\( h \)を\( x \)の増分、すなわち、\( \Delta x \)と考えると、\( f(a+h)-f(a) \)は\( y \)の増分、すなわち\( \Delta y \)と考えることができる。

そうすると、\( \displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \)　は 点\( (a,f(a)) \)と点\( (a+h,f(a+h)) \)の傾きとなる。

ref

\( h \)を0に近づけると、傾きの線は点\( (a,f(a)) \)にピタッと寄り添う感じになる……
すなわち、点\( (a,f(a)) \)での接線の傾きとなる。

導関数

微分係数\( f'(a) \)を観察してみると、文字\( a \)を\( x \)に置き換えると、新たな関数が出来るように見える。

ここで、導関数の定義は、増分の考え方を用いて以下のようになる。

【\( x \)で微分可能の定義】
前提として、

• 関数 \( y=f(x) \) について、\( x \) は自由変数であり、\( y \) は\( x \)の従属変数（つまり、\( x \)によって\( y \)の値が決まる。）
• \( x \to x+\Delta x \\ y \to y+\Delta y \)
  ただし、\( y+\Delta y = f(x + \Delta x) \) ＜ここちょっと工事中です。＞

導関数の計算

【代表的な関数の微分】

\( (x^n)'=nx^(n-1) \)

\( (e^x)'=e^x \)

\( (a^x)'= a^x \log a = a^x \ln{a} \)

\( \displaystyle(\log x)=\frac{1}{x} \)

\( \displaystyle(\log a)=\frac{1}{x \log a}=\frac{1}{x \ln{a}} \)

\( (\sin x)' = \cos x \)

\( (\cos x)'= -\sin x \)

【基本の計算】

\( k \in \mathbb{R} \) つまり、\( k \)を実数とする。
\( f(x),g(x) \)が区間\( I \)で微分可能であるとき、
区間Iについて
（……と言っておかないと、微分不可能な場合にまではみ出てしまうので書く）

• 加法の微分（加減算の微分）
  \( (f+g)'=f'+g' \\ (f-g)'=f'-g' \)

• 実数倍の微分
  \( (kf)=kf' \)

• 乗法の微分
  \( (fg)'=f'g+fg' \)

• 除法の微分
  \( \displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g+fg'}{g^2} \)

【合成関数の微分】

以下執筆中

参考

解析学
Nishitani Tatsuo｜大阪大学大学院理学研究科数学専攻・理学部数学科

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