2.3.4.A2 のバックアップ(No.3)

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【2】数学 Mathematics
【2.3】解析学 Analysis
【2.3.4】微積分 Calculus
【2.3.4.A】微分 Derivative
【2.3.4.A2】微分の計算

※ このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。
※証明は別ページで行います。

代表的な関数の微分

\( (x^n)'=nx^{n-1} \)

\( (e^x)'=e^x \)

\( (a^x)'= a^x \log a = a^x \ln{a} \)

\( \displaystyle(\log x)'=\frac{1}{x} \)

\( \displaystyle(\log |x|)'=\frac{1}{x} \)

\( \displaystyle(\log a)'=\frac{1}{x \log a}=\frac{1}{x \ln{a}} \)

\( (\sin x)' = \cos x \)

\( (\cos x)'= -\sin x \)

\( \displaystyle (\arcsin x)'= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)

\( \displaystyle (\arccos x)'= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)

\( \displaystyle (\arctan x)'= \frac{1}{1+x^2} \)

基本の計算

\( \alpha,\beta \in \mathbb{R} \) つまり、\( \alpha,\beta \)を実数とする。
\( f(x),g(x) \)が区間\( I \)で微分可能であるとき、
区間Iについて
（……と言っておかないと、微分不可能な場合にまではみ出てしまうので書く）

• 加法の微分（加減算の微分）
  \( (f+g)'=f'+g' \\ (f-g)'=f'-g' \)

• 実数倍の微分
  \( (\alpha f)'=\alpha f' \)

• 微分の線形性
  加法の微分と実数倍の微分を併せ、
  \( (\alpha f + \beta g)'=\alpha f' + \beta g' \)

• 乗法の微分
  \( (fg)'=f'g+fg' \)

• 除法の微分
  \( \displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g+fg'}{g^2} \)

合成関数の微分

条件1『\( y=f(z) \)が\( z \)について微分可能』
条件2『\( z=g(x) \)が\( x \)について微分可能』

このとき、以下二つの結論が導ける。

逆関数の微分

このとき、

媒介変数の微分

このとき、

その他テクニック

【対数微分法】

\( y=f(x) \)とし、
\( \log y = \log (f(x)) = g(x) \)とするとき、
\( g(x) \)が単純なら、

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