多変量正規分布 のバックアップ(No.2)

多変量正規分布の基本情報

母平均ベクトル：\( \boldsymbol{\mu} \)
それぞれの確率ベクトルの成分に対する平均
分散共分散行列：\( \Sigma \)
\( i \)行\( i \)列が確率ベクトルの\( i \)番目の成分の分散になっている。
また、\( i \neq j \)のとき、 \( i \)行\( j \)列が確率ベクトルの\( i \)番目の成分と\( j \)番目の成分共分散となっている。
同時確率密度関数
\( \large \displaystyle \frac{1}{\sqrt{(2\pi)}^m \sqrt{|\Sigma|}} \exp \left( -\frac{1}{2} (\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})^T \Sigma^{-1} (\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu}) \right) \)
最尤推定値
\( \large \displaystyle \boldsymbol{\hat \mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{x}_i = \overline{\mathbf{x}} \\ \large \displaystyle \hat \Sigma = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( \mathbf{x}_i - \overline{\mathbf{x}} ) ( \mathbf{x}_i - \overline{\mathbf{x}} )^T \)
\( \boldsymbol{\mu} \)の不偏推定値
\( \large \displaystyle \boldsymbol{\hat \mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \mathbf{x}_i = \overline{\mathbf{x}} \)
\( \Sigma \)の不偏推定値（\( \boldsymbol{\mu} \)がわかっている場合）
\( \large \displaystyle \Sigma = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( \mathbf{x}_i - \boldsymbol{\mu} ) ( \mathbf{x}_i - \boldsymbol{\mu} )^T \)
\( \Sigma \)の不偏推定値（\( \boldsymbol{\mu} \)が不明な場合）
\( \large \displaystyle \Sigma = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n ( \mathbf{x}_i - \boldsymbol{\hat \mu} ) ( \mathbf{x}_i - \boldsymbol{\hat \mu} )^T \)

参考

数学ライブラリー32 多変量解析入門 (P141～P146)
著：河口至商
発行者：森北出版
第1版第1刷発行：1973年06月20日
第1版第4刷発行：1973年08月10日