2.3.4.A2 のバックアップ(No.1)

導関数の計算

【代表的な関数の微分】

\( (x^n)'=nx^{n-1} \)

\( (e^x)'=e^x \)

\( (a^x)'= a^x \log a = a^x \ln{a} \)

\( \displaystyle(\log x)'=\frac{1}{x} \)

\( \displaystyle(\log |x|)'=\frac{1}{x} \)

\( \displaystyle(\log a)'=\frac{1}{x \log a}=\frac{1}{x \ln{a}} \)

\( (\sin x)' = \cos x \)

\( (\cos x)'= -\sin x \)

\( \displaystyle (\arcsin x)'= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)

\( \displaystyle (\arccos x)'= -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)

\( \displaystyle (\arctan x)'= \frac{1}{1+x^2} \)

【基本の計算】

\( \alpha,\beta \in \mathbb{R} \) つまり、\( \alpha,\beta \)を実数とする。
\( f(x),g(x) \)が区間\( I \)で微分可能であるとき、
区間Iについて
（……と言っておかないと、微分不可能な場合にまではみ出てしまうので書く）

  • 加法の微分（加減算の微分）
    \( (f+g)'=f'+g' \\ (f-g)'=f'-g' \)
  • 実数倍の微分
    \( (\alpha f)'=\alpha f' \)
  • 微分の線形性
    加法の微分と実数倍の微分を併せ、
    \( (\alpha f + \beta g)'=\alpha f' + \beta g' \)
  • 乗法の微分
    \( (fg)'=f'g+fg' \)
  • 除法の微分
    \( \displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g+fg'}{g^2} \)

【合成関数の微分】

条件1『\( y=f(z) \)が\( z \)について微分可能』
条件2『\( z=g(x) \)が\( x \)について微分可能』

このとき、以下二つの結論が導ける。

合成関数『\( y=f(g(x)) \)が\( x \)について微分可能』
\( \displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dz}\frac{dz}{dx} \)

逆関数の微分

条件
\( y=f(x) \)が微分可能である
\( f'(x)>0 \)または\( f'(x)>0 \)
つまり、\( f'(x)=0 \)になることがない。
逆関数\( f^{-1} \)が存在する。

このとき、

\( x=f^{-1}(y) \)は微分可能で、微分係数は

\( \displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\left( \frac{dy}{dx} \right)} \)

媒介変数の微分

その他テクニック

対数微分法

以下執筆中