数列の極限 のバックアップ(No.1)

【2】数学 Mathematics
【2.3】解析学
【2.3.1】解析学基礎
【2.3.1.d】数列の極限 Limit of a sequence

※1 このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。

※2 この項で数列という場合、特に言わなくても無限数列のことを指します。

とりあえず単位を取りたい

■\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} a_n=a \) の証明：定型文

任意な \( \epsilon>0 \) に対して、

1つの自然数を \( N> ( \epsilon の式 ) \) 　となるようにとれば、

\( n>N \) ならば、\( | a_n - a | = \fbox{nの式} < \fbox{Nの式} <\epsilon \)


■\( a_n が \infty に発散する証明：定型文 \)

任意な \( M>0 \) に対して、

1つの自然数を \( N> ( \epsilon の式 ) \) 　となるようにとれば、

\( n>N ならば、 | a_n - a | = \fbox{nの式} > \fbox{Nの式} >M \)

収束

高校レベルにおいては、数列の「収束」は、

「\( n \)が限りなく大きくなると、 \( a_n \) がある値 \( \alpha \)無限に近づくとき、 \( \alpha \)に収束するという。」

また、このとき、

\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} a_n= \alpha \)

または

\( a_n \to \alpha ( x \to \infty ) \)

と書ける。

しかし、これは厳密に考えると正確な表現とはいえない。
厳密な定義は以下のようになる。

「任意な正の \( \epsilon \)について（ \( \forall \epsilon > 0 \) ） 、
それに対して適切に \( N \) をとれば、（ \( \exists N \in \mathbb{N} \) ） 、
\( N \)より大きい全ての\( n \) に対して、（ \( \forall n > N \) ） 、
\( |a_n - \alpha| < \epsilon \) とすることができる。 」

ここから先編集中