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【[[2]]】数学 Mathematics
【2.2】代数学 Algebra
【2.2.3】線形代数学 Linear algebra
【2.2.3.3】行列式 Determinant
【2.2.3.3.2】行列式の定義
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[[前回>行列式と面積]]、二次正方行列の行列式と面積についての関係を見た。
今回は、行列式のちゃんとした定義を追う。



*ちゃんとしたn次行列式の定義 [#def]

すべての成分が&mathjax{\mathbb{R}};(実数)である&mathjax{n};次正方行列&mathjax{A};について、それに対応するスカラー値である行列式は&mathjax{ \det(A)};または&mathjax{|A|};と表記する。


&mathjax{ \det(A)};つまり&mathjax{|A|};は、以下の【A-1】、【A-2】、【A-3】の三つの性質により定義される。
*【A-1】定義1：列に関する線形多重性 [#a1]
&mathjax{a_{pj} = \lambda b_{pj} + \mu c_{pj} , (p=1,2,\dots,n) }; とするとき、
  
&mathjax{ \det(A)= \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{a_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{a_{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};


&mathjax{=\left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{\lambda b_{1j} + \mu c{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{\lambda b_{2j} + \mu c{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{\lambda b_{nj} + \mu c{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};




&mathjax{= \textcolor{red}{\lambda} \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{b_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{b_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{b_{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|}; &mathjax{+ \textcolor{red}{\mu} \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{c_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{c_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{c_{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};




*【A-2】定義2：退化条件 [#a2]

&mathjax{j}; 列と &mathjax{k}; 列が等しいとき、&mathjax{ \det(A)=0};

つまり、

&mathjax{a_{pj} = a_{pk} = b_p , (p=1,2,\dots,n)};のとき、

&mathjax{\det(A)};

&mathjax{= \left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};

&mathjax{= \left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{b_{1}} & \dots & \textcolor{red}{b_{1}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{b_{2}} & & \textcolor{red}{b_{2}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{b_{n}} & \dots & \textcolor{red}{b_{n}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};

&mathjax{\large =0};
*【A-3】定義3:正規化条件 [#a3]
&mathjax{ \det(E_n)=1};

つまり、単位行列の行列式は &mathjax{1};






*コメント [#s7e41e71]

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