行列式の公式 の変更点

• 追加された行はこの色です。
• 削除された行はこの色です。
• 行列式の公式 へ行く。

CENTER:|>|【[[2>Category.2]]】数学 Mathematics&BR;【[[2.2>Category.2.2]]】代数学 Algebra&BR;【[[2.2.3>Category.2.2.3]]】線形代数学 Linear algebra|
|>|CENTER:&size(18){【[[Category.2.2.3.3]]】 &BR; ''行列式 Determinant''};|
|>|CENTER:[[&mathjax{\large【\textcolor{blue}{Category.2.2.3.3}】};>Category.2.2.3.3]] &BR; &size(18){''[[行列式 Determinant>Category.2.2.3.3]]''};|
|CENTER:前回|【2.2.3.3.3】[[行列式の計算]]|
|CENTER:BGCOLOR(#F3F781):今回|BGCOLOR(#F3F781):【2.2.3.3.4】行列式の公式|
|CENTER:次回|【2.2.3.3.5】[[行列式の存在]]|


※ このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。


#contents

*行列式の公式の導出の前に（反転数とか） [#v0865913]

行列式の公式を導出するには、[[行列式の交代性>行列式の計算#P3]]を''酷使''する。
一回交代させると、正負が逆転するため、
奇数回交代させれば符号が逆に、
偶数回交代させれば符号は同じになる。
よって、''何回交代させた''かが重要になる。
このために、まずは反転数の概念を導入する。

例えば、&mathjax{\sigma = [3,1,4,2]};という並びがあったとき、
大きい数なのに左に、小さい数なのに右に来ているような数の組み合わせを考えると、
&mathjax{(3,1),(3,2),(4,2)};の三個ある。これを反転数と呼んで、

&mathjax{N_\sigma = 3};

と書く。

そして、&mathjax{3,1,4,2};を&mathjax{1,2,3,4};に並び替えるには3回、
つまり反転数&mathjax{N_\sigma};の回数だけ入れ替えてやればいい。

&mathjax{[3,1,4,2] \to [1,3,4,2] \to [1,2,4,3] \to [1,2,3,4]};

*行列式の公式 [#sa2d1476]
証明するのは後回しにして、先に行列式の公式を書く。

|BGCOLOR(#F3F781):&mathjax{\displaystyle \LARGE \sum_{[i_1,1_2,\dots,i_n]\in S} (-1)^{N_{[i_1,i_2,\dots,i_n]}} a_{i_{1}1} a_{i_{2}2} \dots a_{i_{n}n}};|

とはいえ、この公式、見ただけで理解できる人はそうはいないだろう。

|BGCOLOR(#F3F781):&mathjax{[i_1,1_2,\dots,i_n]\in S};は&mathjax{1,2,\dots,n};の全ての並べ替えパターンに対して、&BR;&BR; &mathjax{\sum};、つまり合計しろという意味|
|BGCOLOR(#F3F781):&mathjax{N_{[i_1,i_2,\dots,i_n]}};は&mathjax{1,2,\dots,n};の''ある''並べ替えパターンの時の反転数という意味|
|BGCOLOR(#F3F781):&mathjax{\large a_{i_{1}1} a_{i_{2}2} \dots a_{i_{n}n}};は、&BR;&mathjax{ a_{■1} a_{■2} \dots a_{■n}}; の■に &mathjax{1,2,\dots,n}; の''このとき''の並び替えパターンを順々に入れていという意味|

と考えることができる。

&BR;

よって、やや行儀が悪いが、こう書き換えることができる。

&mathjax{\displaystyle \Large \sum_{1,2,\dots,n の\\全ての並べ替えパターン} (-1)^{(あるパターンの反転数)} \underbrace{a_{■1} a_{■2} \dots a_{■n}}_{■に 1,2,\dots,n  の並び替えパターンを順々に入れていく}};