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※1 このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。

※2 二次正方行列の行列式の公式と合ってるかの計算は[[次回>行列式の定義]]でやります。

#contents


// *とりあえず単位を取りたい
// 行列式についてとりあえず知っておくべきことは、
// (1)行列式の図形的な意味
// (2)行列式の計算方法
// である。

// **行列式の図形的な意味
// 例えば点を結んで図形を作っているとき、その図形の全ての座標に二次正方行列を掛け算すると、点が移動して新たな図形を作る。元の図形に比べて新たな図形の面積が何倍になったか。これが二次の行列式の値となる。
// もし三次元ならば、図形の体積が何倍になるかが、行列式の値である。
// 多次元でもその次元に見合った体積っぽいものが何倍されるかが、行列式の値である。

// **行列の計算方法
// -行を何倍かして別の行に足し算（や引き算）できる。
// -列を何倍かして別の列に足し算（や引き算）できる。
// -一つの行をすべてc倍すると、行列式もc倍になる。
// -一つの列をすべてc倍すると、行列式もc倍になる。
// -二つの行を交換すると、行列式の正負が逆になる
// -二つの列を交換すると、行列式の正負が逆になる
// -0だけの行や列があったら、行列式も0
// -

*二次の行列式とグラフ上の面積。 [#i135c6b6]

二次正方行列を見てみると、二本の縦ベクトルと見ることもできる。

&mathjax{A=\left(\begin{array}{ccc}a_x 　 b_x \\a_y 　 b_y \\\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{c}a_x\\a_y\\\end{array}\right) と \left(\begin{array}{c}b_x\\b_y\\\end{array}\right)};

（二次正方行列の）行列式とは、この二本の縦ベクトルで作れる平行四辺形の&color(Gray){（符号付きの）};面積のことを言い、

&mathjax{\left|\begin{array}{cc}a_x & b_x \\a_y & b_y \\\end{array}\right| }; あるいは &mathjax{\det A };　と表記する。


#ref(Det1.png,nolink)

では、片方のベクトルを長くすると、どうなるか。

#ref(Det2.png,nolink)

&mathjax{\vec{a}}; を &mathjax{\lambda \vec{a}}; に伸ばすと、面積も &color(Red){&mathjax{\lambda}; 倍};になった。

同じことは&mathjax{\vec{b}};を伸ばした場合にも言える。

このことから、

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} \lambda\ a_x & b_x \\\lambda\ a_y & b_y \\\end{array}\right|= \lambda \left|\begin{array}{cc}a_x & b_x \\a_y & b_y \\\end{array}\right| }; 

という計算式が成り立つことが分かった。

**負の面積？ [#l6214e67]

では、&mathjax{\lambda }; を負にするとどうなるか。

#ref(Det3.png,nolink)

負の面積っていうのも、ピンと来ないかもしれないが、''反対側''に&mathjax{\lambda }; 倍になってるのを見ると、負の面積というのも許していいかな……？という風に思える（思って）。



*ベクトルの足し算と面積 [#ac6b2172]

では、今度は&mathjax{\left|\begin{array}{rr} \ a_x+c_x & b_x \\ a_y+c_y & b_y \\\end{array}\right|}; となっているときを考える。
 

#ref(Det4.png,nolink)

このとき上の図から、&mathjax{\vec{a}};と&mathjax{\vec{b}};の平行四辺形と&mathjax{\vec{c}};と&mathjax{\vec{b}};の平行四辺形とを足し合わせると、&mathjax{\vec{a}+\vec{c}};と&mathjax{\vec{b}};の平行四辺形と同じ面積となってる。
つまり、

&mathjax{\left|\begin{array}{rr}  a_x+c_x & b_x \\ a_y+c_y & b_y \\\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}a_x & b_x \\a_y & b_y \\\end{array}\right| +  \left|\begin{array}{cc}c_x & b_x \\c_y & b_y \\\end{array}\right| }; 

これも、&mathjax{\vec{b}};についておなじことをしても成り立っている。

*（二次正方行列の）線形多重性 [#n46da1eb]

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} \lambda\ a_x & b_x \\\lambda\ a_y & b_y \\\end{array}\right|= \lambda \left|\begin{array}{cc}a_x & b_x \\a_y & b_y \\\end{array}\right| }; 

と

&mathjax{\left|\begin{array}{rr}  a_x+c_x & b_x \\ a_y+c_y & b_y \\\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}a_x & b_x \\a_y & b_y \\\end{array}\right| +  \left|\begin{array}{cc}c_x & b_x \\c_y & b_y \\\end{array}\right| }; 

の二つの式が成り立ってると考えると、以下の式にまとめられる。

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} \lambda a_x + \mu c_x & b_x \\ \lambda a_y + \mu c_y & b_y \\ \end{array}\right| = \lambda \left|\begin{array}{cc}a_x & b_x \\a_y & b_y \\ \end{array}\right| + \mu \left|\begin{array}{cc}c_x & b_x \\c_y & b_y \\ \end{array}\right| }; 

また、&mathjax{\vec{b}};のほうについても同様に、

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} a_x & \lambda b_x + \mu c_x \\ a_y & \lambda b_y + \mu c_y \end{array}\right| = \lambda \left|\begin{array}{cc}a_x & b_x \\a_y & b_y \end{array}\right| + \mu \left|\begin{array}{cc}a_x & c_x \\a_y & c_y \end{array}\right| }; 

*縦ベクトルが同じ場合（退化条件） [#o32f9912]

&mathjax{\left| \begin{array}{cc} a_x & a_x \\ a_y & a_y \end{array} \right| };

を考えると、縦ベクトル&mathjax{\left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \end{array} \right) }; が二つ並んでるので、同じベクトルを二つ持ってきても、面積にはならない。よって、行列式も&mathjax{0};と考えることができる。
*縦一列がゼロの場合 [#pa85380f]

縦一列が0、つまり、

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} a_x & 0\\ a_y & 0 \end{array}\right|}; や &mathjax{\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ 0 & b_y \end{array}\right|};

のとき、縦ベクトルを考えると、片方のベクトルの長さは0であるため、当然、面積も0となる。

よって、

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} a_x & 0 \\ a_y & 0 \end{array}\right|=0};　,　&mathjax{\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ 0 & b_y \end{array}\right|=0};

これは線形多重性から導くこともできる。

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} a_x & 0 \\ a_y & 0 \end{array}\right|}; &mathjax{=\left|\begin{array}{rr} a_x & a_x-a_x \\ a_y & a_y-a_y \end{array}\right|}; &mathjax{=\left|\begin{array}{rr} a_x & a_x \\ a_y & a_y \end{array}\right|+(-1)\left|\begin{array}{rr} a_x & a_x \\ a_y & a_y \end{array}\right|}; &mathjax{=0};
*列の入れ替え [#wd63e5ea]

では、列を入れ替えてみるとどうなるだろうか。
実は線形多重性や退化条件から導くことができる。

同じ縦ベクトルを二本並べて作った行列を考える。
このとき、同じベクトルを並べてるだけなのだから、退化条件からこの二本のベクトルでできる行列式は&mathjax{0};となる。

&mathjax{\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}};　となるベクトルを考えると、

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} c_x & c_x \\ c_y & c_y \end{array}\right|=0};

よって、 


&mathjax{\left|\begin{array}{rr} a_x + b_x & a_x + b_x \\ a_y + b_y & a_y + b_y \end{array}\right|=0};

線形多重性より

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} a_x & a_x + b_x \\ a_y & a_y + b_y \end{array}\right| + \left|\begin{array}{rr} b_x & a_x + b_x \\ b_y & a_y + b_y \end{array}\right|=0};

さらに線形多重性より、

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} a_x & a_x \\ a_y & a_y \end{array}\right| + \left|\begin{array}{rr} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{array}\right| + \left|\begin{array}{rr} b_x & a_x \\ b_y & a_y  \end{array}\right| + \left|\begin{array}{rr} b_x & b_x \\ b_y & b_y \end{array}\right|=0};

同じ縦ベクトルがあると、0となるので、

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{array}\right| + \left|\begin{array}{rr} b_x & a_x \\ b_y & a_y  \end{array}\right| =0};

よって、

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{array}\right| = - \left|\begin{array}{rr} b_x & a_x \\ b_y & a_y  \end{array}\right|};

この計算によって、''列を入れ替えると、符号が逆転する''ことが分かった。
*じゃあ計算 [#f438a3a8]
もし、行列式の公式、&mathjax{a_x b_y - a_y b_x}; を知ってる人がいたら、これで本当に見知った公式になるのか、疑わしいと感じるかもしれない。
なので、実際に計算をして盛る。

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} a_x & b_x \\ a_y & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{=\left|\begin{array}{rr} a_x+0 & b_x \\ 0+a_y & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{=\left|\begin{array}{rr} a_x & b_x \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + \left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ a_y & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{= a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ 1 & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{= a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x+0 \\ 0 & 0+b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x+0 \\ 1 & 0+b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{= a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ 1 & 0 \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| + a_y b_x\left|\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right| + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right|}; 

&color(Gray){列を入れ替えると符号は逆になるので、};

&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| - a_y b_x\left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right|}; 


&color(Gray){単位行列の行列式は1になるので、};

&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y - a_y b_x + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right|}; 

&color(Gray){多重線形性より、ある列の実数倍を別の列に足してもよいので、};

&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y - a_y b_x + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right|}; 

&color(Gray){縦に0が並んでると行列式は0なので、};

&mathjax{= a_x b_y - a_y b_x };
*コメント [#fcbe4e5c]

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