実数 の変更点
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#contents *実数の性質 [#j4c13f49] 実数は幾つかの性質を持つが、 教科書では4つの性質に整理されている。 -性質[I]:四則計算ができる -性質[II]:大小の順序がつく -性質[III]:稠密性 -性質[VI]:連続性 **性質[I]:四則計算ができる [#hb39c536] 実数に限らず、加減乗除のうち 足し算(加)、引き算、(減)、掛け算(乗) については整数・有理数の範囲でも成り立つし、 割り算(除)も有理数の範囲で成り立つ。 なじみ深い性質なので、深入りする必要もないだろう。 **性質[II]:大小の順序がつく [#ub480236] これも、自然数、整数、有理数の範囲で成り立つ話で、 実数特有ではない。 1<2 のように、当たり前の話である。 しかし、「大小の順序がつく」ことによって、 以下の二つの性質が引き出せる。 **性質:無限である [#m9aecdad] これは性質[I]と[II]から引き出せる。 どんな実数にも大小の順序がつくということは、 どんな大きい数でも、それより大きな数があることになる。 もし、最後の実数なるものがあると仮定すると、 (最後の実数)<(最後の実数+1) 「最後の実数」より大きな数が存在するため、矛盾する。 というわけで、実数や整数に「最後」はなく、無縁である。 **性質:アルキメデスの公理 [#y1aec2d8] これも性質[I]と[II]から引き出せる。 0<b<a a,b∈''R'' つまり、実数aとbを用意して、bがaより小さいとき、 a<nb となる自然数nが存在する。 具体的に書けば、 a=100 b=3 としたとき、 0<3<100 なのだが、 n=34としてやると、 100<34×3 となる。 (別にnは35だって、100だって、1億だっていい。) 実数aがどんなに大きくても、 実数bがどんなに小さくても、 すごく大きい自然数nをbに掛けてやってnbにすれば、 aを越えることができる。 そういう希望ある数学的結論である。 **性質[III]:稠密性 [#vf08c956] これは有理数の範囲でも成り立つ。 実数が稠密である、つまり、すごくたくさん詰まってるというのは、 高校レベルでも、教科書のレベルでも当然のものとして扱う。 二つの実数、例えば、区間 [ 1.23 , 1.56 ] つまり、1.23と1.56の間……という狭い範囲ですら、 無限の有理数と実数が含まれている。 **性質[VI]:連続性(カントールの公理) [#vd473d50] 性質[I]~[III]とは異なり、この性質は実数にしかない。 言い換えれば、これが、有理数でない実数の性質を明らかにしたものであるが、 だからこそ、実数で一番難易度が高い部分でもある。 ***カントールの公理 [#d7cad57c] 一般的な話はおいておいて、 ここでは、具体的に一つに実数を用いて考える。 何を選んでもいいが、円周率 π = 3.14159265 を使ってみる。 区間1番= [ 3 , 4 ] とすると、 3<π<4 区間2番= [ 3.1 , 3.2 ] とすると、 3.1<π<3.2 区間3番= [ 3.14 , 3.15 ] とすると、 3.14<π<3.15 区間4番= [ 3.141 , 3.142 ] とすると、 3.141<π<3.142 区間5番= [ 3.1415 , 3.1416 ] とすると、 3.1415<π<3.1416 区間6番= [ 3.14159 , 3.14160 ] とすると、 3.14159<π<3.14160 区間7番= [ 3.141592 , 3.141593 ] とすると、 3.141592<π<3.141593 こんなふうに、 πを含みながら、1桁づつ増やしていって、 区間を狭め続けることができる。 今は区間7番までしか書いてないが、 どんなに狭くても (例えば区間の幅が0.00000000000000001であっても、) πを含むように区間を設定できる。 では、上記のノリで、区間を狭めていき、 区間100番、区間1億番、そして区間∞番まで作っても、 πを含むように設定は可能である。 区間∞番まで作っちゃったとき、 区間1番から''区間∞番まで''共通で含まれてる実数はπだけで、 ''他の実数は含まれてない''。 ~区間を設定するために使った数は小数、 つまり有理数の一種だった。 しかし、有理数で表記した区間を狭めて行くと、 無理数にたどり着ける……というのがポイント。 *参考資料(含むPR) [#q9faf9d5] [[微分積分学:裳華房(矢野 健太郎、石原 繁):https://www.amazon.co.jp/gp/product/4785310065/ref=as_li_tl?ie=UTF8&tag=elfir-22&camp=247&creative=1211&linkCode=as2&creativeASIN=4785310065&linkId=deacead8bdfb5924b72d85af4e93c21e]] -[[微分積分学:裳華房(矢野 健太郎、石原 繁):https://www.amazon.co.jp/gp/product/4785310065/ref=as_li_tl?ie=UTF8&tag=elfir-22&camp=247&creative=1211&linkCode=as2&creativeASIN=4785310065&linkId=deacead8bdfb5924b72d85af4e93c21e]]