∫sin^4(x)cos^2(x)dx…(x:0→π/2)の積分 の変更点
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#mathjax( \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin^4 x \cos^2 x dx ) #mathjax( = \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin^2 x ( \sin x \cos x )^2 dx ) #mathjax( = \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \frac{1-\cos 2x}{2} \frac{\sin^2 2x}{4} dx ) #mathjax( = \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \frac{1-\cos 2x}{2} \frac{\sin^2 2x}{4} dx ) #mathjax( = \frac{1}{8} \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} (1-\cos 2x) \sin^2 2x dx ) #mathjax( = \frac{1}{8} \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin^2 2x dx - \frac{1}{8} \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \cos 2x \sin^2 2x dx ) #mathjax( = \frac{1}{8} \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \frac{1-\cos 4x}{2} dx - \frac{1}{8} \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \cos 2x \sin^2 2x dx ) #mathjax( = \frac{1}{16} \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} (1-\cos 4x) dx - \frac{1}{8} \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \cos 2x \sin^2 2x dx ) #mathjax( = \frac{1}{16} \left[ x-\frac{\sin 4x}{4} \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0} - \frac{1}{8} \left[ \frac{\sin^3 2x}{6} \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0} ) #mathjax( = \frac{1}{16} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) ) #mathjax( = \frac{\pi}{32} ) #pcomment =(1/8) ∫ ( 1-cos(2x) ) sin^2(2x) dx =(1/8) ∫ sin^2(2x) dx + (1/8) ∫ sin^2(2x) cos(2x) dx =(1/8) ∫ ( 1-cos(4x) )/2 dx + (1/8) ∫ sin^2(2x) cos(2x) dx =(1/16) ∫ ( 1-cos(4x) ) dx + (1/8) ∫ sin^2(2x) cos(2x) dx =(1/16) [ x-(1/4)sin(2x) ] +(1/8) [ (1/6) sin^3(2x) ] =(1/16) × (π/2) =π/32