行列式の計算 のバックアップの現在との差分(No.7)

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行列式の計算

行列式の定義から、すべての行列式は計算可能である。
しかし、すべてを定義から計算していては、とても間に合わないし、応用もできない。
そこで、幾つかの計算法が作られている。
ここでは計算法だけを示し、証明は別ページとする。

基本変形と行列式

【P-1】別の列に実数倍加算

ある列を実数倍して、別の列に足しても、行列式は等しい。

\( j \) 列目の実数倍(\( r \)倍)を \( k \) 列目に足す場合

\( \left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)\( =\left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}}+r\textcolor{blue}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}}+r\textcolor{blue}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}}+r\textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)

【P-2】ある列をスカラー倍

\( \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{c}\textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{c}\textcolor{blue}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{c}\textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)\( =\Large \textcolor{red}{c} \normalsize \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)

【P-3】交代性

行列の列を交換すると、正負が逆転する

行列の\( j \)列目と\( k \)列目を交換すると、

\( \left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)\( =\LARGE\textcolor{red}{-}\normalsize\left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)

行についても成り立つ

列と同様、行についても【P-1】、【P-2】、【P-3】が成り立つ。
※「転地行列と行列式」で証明する

三角行列の行列式

三角行列の行列式は、対角成分の積。

\( \left| \begin{array}{ccccc} a_{1} & & & & \\ & a_{2} & & \LARGE 0 \normalsize & \\ & & \ddots & & \\& \LARGE * \normalsize & & \ddots & \\& & & & a_{n} \end{array}\right|= a_1 a_2 \dots a_n \)

\( \left| \begin{array}{ccccc} a_{1} & & & & \\ & a_{2} & & \LARGE * \normalsize & \\ & & \ddots & & \\& \LARGE 0 \normalsize & & \ddots & \\& & & & a_{n} \end{array}\right|= a_1 a_2 \dots a_n \)

※大きい0は、0が三角形状にたくさん並んでることを示す。
※大きい*は、様々な要素（数など）が三角形状にたくさん並んでいることを示す。

その他の計算

\( |AB|=|A||B| \)
※「スカラー値を返す関数と行列式」で証明する。

\( |A|=|{}^t A| \)
※「転地行列と行列式」で証明する

\( \left| \begin{array}{cc} A & C \\ O & B \end{array}\right|= |A||B| \)
※ただし\( A,B \)は正方行列。 \( O \)は零行列。
※「行列式の分解」で証明する。

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