行列式の計算 のバックアップの現在との差分(No.2)

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【2.2.3】線形代数学 Linear algebra
【2.2.3.3】行列式 Determinant
【2.2.3.3.3】行列式の計算
CENTER:|>|【[[2>Category.2]]】数学 Mathematics&BR;【[[2.2>Category.2.2]]】代数学 Algebra&BR;【[[2.2.3>Category.2.2.3]]】線形代数学 Linear algebra|
|>|CENTER:&size(18){【[[Category.2.2.3.3]]】 &BR; ''行列式 Determinant''};|
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|CENTER:次回|【2.2.3.3.4】[[行列式の公式]]|
|>||
|>|証明については以下のページで&BR;【2.2.3.3.3.a】[[基本変形と行列式]]&BR;【2.2.3.3.3.b】[[三角行列の行列式]]&BR;【2.2.3.3.3.c】[[スカラー値を返す関数と行列式]]&BR;【2.2.3.3.3.d】[[転地行列と行列式]]&BR;【2.2.3.3.3.e】[[行列式の分解]]|

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#contents


*行列式の計算 [#fe6560f0]
[[行列式の定義]]から、すべての行列式は計算可能である。
しかし、すべてを定義から計算していては、とても間に合わないし、応用もできない。
そこで、幾つかの計算法が作られている。
ここでは計算法だけを示し、証明は別ページとする

ここでは計算法だけを示し、証明は別ページとする。
// また、特に断らない限り、成分が実数・複素数・など[[四則計算ができるもの全般>体の定義]]について成り立つ。
*基本変形と行列式 [#gf435894]

**【P-1】別の列に実数倍加算 [#P1]
&color(Red){ある列を実数倍して、別の列に足しても、行列式は変わらない。};
&color(Red){ある列を実数倍して、別の列に足しても、行列式は等しい。};

&mathjax{j}; 列目の実数倍を &mathjax{k}; 列目に足す場合
&mathjax{j}; 列目の実数倍(&mathjax{r};倍)を &mathjax{k}; 列目に足す場合

&mathjax{\left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};&mathjax{=\left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}}+r\textcolor{blue}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}}+r\textcolor{blue}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}}+r\textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};
**【P-2】ある列をスカラー倍 [#P2]

&mathjax{\left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{c}\textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{c}\textcolor{blue}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{c}\textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};&mathjax{=\Large \textcolor{red}{c} \normalsize \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};
**【P-3】交代性 [#P3]

''行列の列を交換すると、正負が逆転する''

行列の&mathjax{j};列目と&mathjax{k};列目を交換すると、

&mathjax{\left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};&mathjax{=\LARGE\textcolor{red}{-}\normalsize\left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};
**行についても成り立つ [#row]

**【P-2】ある列をスカラー倍 [#P2]
列と同様、行についても[[【P-1】>#P1]]、[[【P-2】>#P2]]、[[【P-3】>#P3]]が成り立つ。
※「[[転地行列と行列式]]」で証明する
*三角行列の行列式 [#ba776518]

**【P-3】交代性 [#P3]
三角行列の行列式は、対角成分の積。

*三角行列の行列式 [#ba776518]
&mathjax{\left| \begin{array}{ccccc} a_{1} & & & & \\ & a_{2} & & \LARGE 0 \normalsize & \\ & & \ddots & & \\& \LARGE * \normalsize & & \ddots & \\& & & & a_{n} \end{array}\right|= a_1 a_2 \dots a_n}; 

&mathjax{\left| \begin{array}{ccccc} a_{1} & & & & \\ & a_{2} & & \LARGE * \normalsize & \\ & & \ddots & & \\& \LARGE 0 \normalsize & & \ddots & \\& & & & a_{n} \end{array}\right|= a_1 a_2 \dots a_n}; 

*以下執筆中 [#h6a496bd]

※大きい0は、0が三角形状にたくさん並んでることを示す。
※大きい*は、様々な要素（数など）が三角形状にたくさん並んでいることを示す。



*その他の計算 [#zdd27cfe]

&mathjax{|AB|=|A||B|};
※「[[スカラー値を返す関数と行列式]]」で証明する。

&mathjax{|A|=|{}^t A|};
※「[[転地行列と行列式]]」で証明する

&mathjax{\left| \begin{array}{cc} A & C \\ O & B \end{array}\right|= |A||B|};
※ただし&mathjax{A,B};は正方行列。 &mathjax{O};は零行列。
※「[[行列式の分解]]」で証明する。

*コメント [#e283ef13]

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