行列式の定義 のバックアップ(No.5)

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【2.2.3】線形代数学 Linear algebra
【2.2.3.3】行列式 Determinant
【2.2.3.3.2】行列式の定義

※ このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。

前回、二次正方行列の行列式と面積についての関係を見た。
今回は、行列式のちゃんとした定義を追う。

ちゃんとしたn次行列式の定義

すべての成分が\( \mathbb{R} \)(実数)である\( n \)次正方行列\( A \)について、行列式は\( \det_n(A) \)または\( |A| \)と表記する。

\( \det_n(A) \)つまり\( |A| \)は、以下の【A-1】、【A-2】、【A-3】の三つの定義が成り立つ。

【A-1】定義1：列に関する線形多重性

\( a_{pj} = \lambda b_{pj} + \mu c_{pj} , (p=1,2,\dots,n) \) とするとき、

\( \det_n(A)= \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{a_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{a_{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)

\( =\left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{\lambda b_{1j} + \mu c{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{\lambda b_{2j} + \mu c{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{\lambda b_{nj} + \mu c{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)

\( = \textcolor{red}{\lambda} \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{b_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{b_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{b_{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \) \( + \textcolor{red}{\mu} \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{c_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{c_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{c_{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)

【A-2】定義2：退化条件

\( j \) 列と \( k \) 列が等しいとき、\( \det_n(A)=0 \)

つまり、

\( a_{pj} = a_{pk} = b_p , (p=1,2,\dots,n) \)のとき、

\( \det_n(A) \)

\( = \left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)

\( = \left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{b_{1}} & \dots & \textcolor{red}{b_{1}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{b_{2}} & & \textcolor{red}{b_{2}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{b_{n}} & \dots & \textcolor{red}{b_{n}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)

\( \large =0 \)

【A-3】定義3:正規化条件

\( \det_n(E_n)=1 \)

つまり、単位行列の行列式は \( 1 \)

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