行列式の定義 のバックアップ差分(No.4)

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【2.2.3】線形代数学 Linear algebra
【2.2.3.3】行列式 Determinant
【2.2.3.3.2】行列式の定義

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#contents

*ちゃんとした行列式の定義 [#p34fdf87]
[[前回>行列式と面積]]、二次正方行列の行列式と面積についての関係を見た。
今回は、行列式のちゃんとした定義と基本的な計算規則を追う。

&color(Red){工事中};


*ちゃんとしたn次行列式の定義 [#p34fdf87]
&mathjax{A=\left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & a_{12} & \dots & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & \dots & a_{nn} \end{array}\right)};

*じゃあ計算 [#f438a3a8]
もし、行列式の公式、&mathjax{a_x b_y - a_y b_x}; を知ってる人がいたら、これで本当に見知った公式になるのか、疑わしいと感じるかもしれない。
なので、実際に計算をして盛る。

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} a_x & b_x \\ a_y & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{=\left|\begin{array}{rr} a_x+0 & b_x \\ 0+a_y & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{=\left|\begin{array}{rr} a_x & b_x \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + \left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ a_y & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{= a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ 1 & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{= a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x+0 \\ 0 & 0+b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x+0 \\ 1 & 0+b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{= a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ 1 & 0 \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| + a_y b_x\left|\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right| + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right|}; 

&color(Gray){列を入れ替えると符号は逆になるので、};

&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| - a_y b_x\left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right|}; 


&color(Gray){単位行列の行列式は1になるので、};

&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y - a_y b_x + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right|}; 

&color(Gray){多重線形性より、ある列の実数倍を別の列に足してもよいので、};

&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y - a_y b_x + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right|}; 

&color(Gray){退化条件より、縦に0が並んでると行列式は0なので、};

&mathjax{= a_x b_y - a_y b_x };
&color(Red){工事中};
*以下執筆中 [#vc823947]

*コメント [#s7e41e71]

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