行列式の定義 のバックアップソース(No.3)

【2.2.3】線形代数学 Linear algebra
【2.2.3.3】行列式 Determinant
【2.2.3.3.2】行列式の定義

CENTER:|前回今回【2.2.3.3.1】[[行列式と面積]]||次回【2.2.3.3.2】行列式の定義||次回【2.2.3.3.3】[[行列式の計算]]|


※ このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。


#contents

*ちゃんとした行列式の定義 [#p34fdf87]

&color(Red){工事中};



*じゃあ計算 [#f438a3a8]
もし、行列式の公式、&mathjax{a_x b_y - a_y b_x}; を知ってる人がいたら、これで本当に見知った公式になるのか、疑わしいと感じるかもしれない。
なので、実際に計算をして盛る。

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} a_x & b_x \\ a_y & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{=\left|\begin{array}{rr} a_x+0 & b_x \\ 0+a_y & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{=\left|\begin{array}{rr} a_x & b_x \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + \left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ a_y & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{= a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ 1 & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{= a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x+0 \\ 0 & 0+b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x+0 \\ 1 & 0+b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{= a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ 1 & 0 \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| + a_y b_x\left|\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right| + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right|}; 

&color(Gray){列を入れ替えると符号は逆になるので、};

&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| - a_y b_x\left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right|}; 


&color(Gray){単位行列の行列式は1になるので、};

&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y - a_y b_x + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right|}; 

&color(Gray){多重線形性より、ある列の実数倍を別の列に足してもよいので、};

&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y - a_y b_x + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right|}; 

&color(Gray){退化条件より、縦に0が並んでると行列式は0なので、};

&mathjax{= a_x b_y - a_y b_x };
*以下執筆中 [#vc823947]

*コメント [#s7e41e71]

#pcomment