行列式の定義 のバックアップの現在との差分(No.3)

  • 追加された行はこの色です。
  • 削除された行はこの色です。
【2.2.3】線形代数学 Linear algebra
【2.2.3.3】行列式 Determinant
【2.2.3.3.2】行列式の定義
CENTER:|>|【[[2>Category.2]]】数学 Mathematics&BR;【[[2.2>Category.2.2]]】代数学 Algebra&BR;【[[2.2.3>Category.2.2.3]]】線形代数学 Linear algebra|
|>|CENTER:&size(18){【[[Category.2.2.3.3]]】 &BR; ''行列式 Determinant''};|
|CENTER:前回|【2.2.3.3.1】[[行列式と面積]]|
|CENTER:BGCOLOR(#F3F781):今回|BGCOLOR(#F3F781):【2.2.3.3.2】行列式の定義|
|CENTER:次回|【2.2.3.3.3】[[行列式の計算]]|

CENTER:|前回今回【2.2.3.3.1】[[行列式と面積]]||次回【2.2.3.3.2】行列式の定義||次回【2.2.3.3.3】[[行列式の計算]]|


※ このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。


#contents

*ちゃんとした行列式の定義 [#p34fdf87]
[[前回>行列式と面積]]、二次正方行列の行列式と面積についての関係を見た。
今回は、行列式のちゃんとした定義を追う。

&color(Red){工事中};


*ちゃんとしたn次行列式の定義 [#def]

*じゃあ計算 [#f438a3a8]
もし、行列式の公式、&mathjax{a_x b_y - a_y b_x}; を知ってる人がいたら、これで本当に見知った公式になるのか、疑わしいと感じるかもしれない。
なので、実際に計算をして盛る。
すべての成分が&mathjax{\mathbb{R}};(実数)である&mathjax{n};次正方行列&mathjax{A};について、それに対応するスカラー値である行列式は&mathjax{ \det(A)};または&mathjax{|A|};と表記する。

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} a_x & b_x \\ a_y & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{=\left|\begin{array}{rr} a_x+0 & b_x \\ 0+a_y & b_y \\\end{array}\right|}; 
&mathjax{ \det(A)};つまり&mathjax{|A|};は、以下の【A-1】、【A-2】、【A-3】の三つの性質により定義される。
*【A-1】定義1：列に関する線形多重性 [#a1]
&mathjax{a_{pj} = \lambda b_{pj} + \mu c_{pj} , (p=1,2,\dots,n) }; とするとき、
  
&mathjax{ \det(A)= \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{a_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{a_{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};

&mathjax{=\left|\begin{array}{rr} a_x & b_x \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + \left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ a_y & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{= a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ 1 & b_y \\\end{array}\right|}; 
&mathjax{=\left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{\lambda b_{1j} + \mu c{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{\lambda b_{2j} + \mu c{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{\lambda b_{nj} + \mu c{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};

&mathjax{= a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x+0 \\ 0 & 0+b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x+0 \\ 1 & 0+b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{= a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ 1 & 0 \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| + a_y b_x\left|\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right| + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right|}; 

&color(Gray){列を入れ替えると符号は逆になるので、};
&mathjax{= \textcolor{red}{\lambda} \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{b_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{b_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{b_{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|}; &mathjax{+ \textcolor{red}{\mu} \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{c_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{c_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{c_{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};

&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| - a_y b_x\left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right|}; 


&color(Gray){単位行列の行列式は1になるので、};

&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y - a_y b_x + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right|}; 
*【A-2】定義2：退化条件 [#a2]

&color(Gray){多重線形性より、ある列の実数倍を別の列に足してもよいので、};
&mathjax{j}; 列と &mathjax{k}; 列が等しいとき、&mathjax{ \det(A)=0};

&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y - a_y b_x + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right|}; 
つまり、

&color(Gray){退化条件より、縦に0が並んでると行列式は0なので、};
&mathjax{a_{pj} = a_{pk} = b_p , (p=1,2,\dots,n)};のとき、

&mathjax{= a_x b_y - a_y b_x };
*以下執筆中 [#vc823947]
&mathjax{\det(A)};

&mathjax{= \left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};

&mathjax{= \left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{b_{1}} & \dots & \textcolor{red}{b_{1}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{b_{2}} & & \textcolor{red}{b_{2}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{b_{n}} & \dots & \textcolor{red}{b_{n}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};

&mathjax{\large =0};
*【A-3】定義3:正規化条件 [#a3]
&mathjax{ \det(E_n)=1};

つまり、単位行列の行列式は &mathjax{1};






*コメント [#s7e41e71]

#pcomment