行列式の定義 のバックアップ差分(No.3)

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【2.2.3】線形代数学 Linear algebra
【2.2.3.3】行列式 Determinant
【2.2.3.3.1】行列式の定義
【2.2.3.3.2】行列式の定義

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#contents

// *とりあえず単位を取りたい
// 行列式についてとりあえず知っておくべきことは、
// (1)行列式の図形的な意味
// (2)行列式の計算方法
// である。
*ちゃんとした行列式の定義 [#p34fdf87]

// **行列式の図形的な意味
// 例えば点を結んで図形を作っているとき、その図形の全ての座標に二次正方行列を掛け算すると、点が移動して新たな図形を作る。元の図形に比べて新たな図形の面積が何倍になったか。これが二次の行列式の値となる。
// もし三次元ならば、図形の体積が何倍になるかが、行列式の値である。
// 多次元でもその次元に見合った体積っぽいものが何倍されるかが、行列式の値である。
&color(Red){工事中};

// **行列の計算方法
// -行を何倍かして別の行に足し算（や引き算）できる。
// -列を何倍かして別の列に足し算（や引き算）できる。
// -一つの行をすべてc倍すると、行列式もc倍になる。
// -一つの列をすべてc倍すると、行列式もc倍になる。
// -二つの行を交換すると、行列式の正負が逆になる
// -二つの列を交換すると、行列式の正負が逆になる
// -0だけの行や列があったら、行列式も0
// -

*行列式のグラフ上の面積 [#t3bb960a]

**二次の行列式と面積。 [#i135c6b6]
*じゃあ計算 [#f438a3a8]
もし、行列式の公式、&mathjax{a_x b_y - a_y b_x}; を知ってる人がいたら、これで本当に見知った公式になるのか、疑わしいと感じるかもしれない。
なので、実際に計算をして盛る。

二次正方行列を見てみると、二本の縦ベクトルと見ることもできる。
&mathjax{\left|\begin{array}{rr} a_x & b_x \\ a_y & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{A=\left(\begin{array}{ccc}a_x 　 b_x \\a_y 　 b_y \\\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{c}a_x\\a_y\\\end{array}\right) と \left(\begin{array}{c}b_x\\b_y\\\end{array}\right)};
&mathjax{=\left|\begin{array}{rr} a_x+0 & b_x \\ 0+a_y & b_y \\\end{array}\right|}; 

（二次正方行列の）行列式とは、この二本の縦ベクトルで作れる平行四辺形の&color(Gray){（符号付きの）};面積のことを言い、
&mathjax{=\left|\begin{array}{rr} a_x & b_x \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + \left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ a_y & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{\left|\begin{array}{cc}a_x & b_x \\a_y & b_y \\\end{array}\right| }; あるいは &mathjax{\det A };　と表記する。
&mathjax{= a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ 1 & b_y \\\end{array}\right|}; 

&mathjax{= a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x+0 \\ 0 & 0+b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x+0 \\ 1 & 0+b_y \\\end{array}\right|}; 

#ref(Det1.png,nolink)
&mathjax{= a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ 1 & 0 \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & b_y \\\end{array}\right|}; 

では、片方のベクトルを長くすると、どうなるか。
&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| + a_y b_x\left|\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right| + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right|}; 

#ref(Det2.png,nolink)
&color(Gray){列を入れ替えると符号は逆になるので、};

&mathjax{\vec{a}}; を &mathjax{\lambda \vec{a}}; に伸ばすと、面積も &color(Red){&mathjax{\lambda}; 倍};になった。
&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| - a_y b_x\left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right|}; 

同じことは&mathjax{\vec{b}};を伸ばした場合にも言える。

このことから、
&color(Gray){単位行列の行列式は1になるので、};

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} \lambda\ a_x & b_x \\\lambda\ a_y & b_y \\\end{array}\right|= \lambda \left|\begin{array}{cc}a_x & b_x \\a_y & b_y \\\end{array}\right| }; 
&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y - a_y b_x + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right|}; 

という計算式が成り立つことが分かった。
&color(Gray){多重線形性より、ある列の実数倍を別の列に足してもよいので、};

***負の面積？ [#l6214e67]
&mathjax{= a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y - a_y b_x + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right|}; 

では、&mathjax{\lambda }; を負にするとどうなるか。
&color(Gray){退化条件より、縦に0が並んでると行列式は0なので、};

#ref(Det3.png,nolink)

負の面積っていうのも、ピンと来ないかもしれないが、''反対側''に&mathjax{\lambda }; 倍になってるのを見ると、負の面積というのも許していいかな……？という風に思える（思って）。

*二次の線形多重性 [#h2782e9e]

&mathjax{};

#ref(Det4.png,nolink)
&mathjax{= a_x b_y - a_y b_x };
*以下執筆中 [#vc823947]

*コメント [#s7e41e71]

#pcomment