行列式の定義 のバックアップ(No.3)

• バックアップ一覧
• 差分 を表示
• 現在との差分 を表示
• 現在との差分 - Visual を表示
• ソース を表示
• 行列式の定義 へ行く。
  • 1 (2017-08-22 (火) 21:51:55)
  • 2 (2017-08-22 (火) 22:54:13)
  • 3 (2017-08-25 (金) 12:59:49)
  • 4 (2017-08-25 (金) 15:15:35)
  • 5 (2017-08-26 (土) 15:05:38)
  • 6 (2017-08-29 (火) 13:36:30)
  • 7 (2017-09-08 (金) 21:44:02)

【2.2.3】線形代数学 Linear algebra
【2.2.3.3】行列式 Determinant
【2.2.3.3.2】行列式の定義

※ このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。

ちゃんとした行列式の定義

工事中

じゃあ計算

もし、行列式の公式、\( a_x b_y - a_y b_x \) を知ってる人がいたら、これで本当に見知った公式になるのか、疑わしいと感じるかもしれない。
なので、実際に計算をして盛る。

\( \left|\begin{array}{rr} a_x & b_x \\ a_y & b_y \\\end{array}\right| \)

\( =\left|\begin{array}{rr} a_x+0 & b_x \\ 0+a_y & b_y \\\end{array}\right| \)

\( =\left|\begin{array}{rr} a_x & b_x \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + \left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ a_y & b_y \\\end{array}\right| \)

\( = a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ 1 & b_y \\\end{array}\right| \)

\( = a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x+0 \\ 0 & 0+b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x+0 \\ 1 & 0+b_y \\\end{array}\right| \)

\( = a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & b_x \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & b_y \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & b_x \\ 1 & 0 \\\end{array}\right| + a_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & b_y \\\end{array}\right| \)

\( = a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| + a_y b_x\left|\begin{array}{rr} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right| + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right| \)

列を入れ替えると符号は逆になるので、

\( = a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| - a_y b_x\left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}\right| + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right| \)

単位行列の行列式は1になるので、

\( = a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y - a_y b_x + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\end{array}\right| \)

多重線形性より、ある列の実数倍を別の列に足してもよいので、

\( = a_x b_x \left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{array}\right| + a_x b_y - a_y b_x + a_y b_y\left|\begin{array}{rr} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\\end{array}\right| \)

退化条件より、縦に0が並んでると行列式は0なので、

\( = a_x b_y - a_y b_x \)

以下執筆中

コメント