行列式の定義 のバックアップの現在との差分(No.2)

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【2.2.3】線形代数学 Linear algebra
【2.2.3.3】行列式 Determinant
【2.2.3.3.1】行列式の定義
CENTER:|>|【[[2>Category.2]]】数学 Mathematics&BR;【[[2.2>Category.2.2]]】代数学 Algebra&BR;【[[2.2.3>Category.2.2.3]]】線形代数学 Linear algebra|
|>|CENTER:&size(18){【[[Category.2.2.3.3]]】 &BR; ''行列式 Determinant''};|
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|CENTER:BGCOLOR(#F3F781):今回|BGCOLOR(#F3F781):【2.2.3.3.2】行列式の定義|
|CENTER:次回|【2.2.3.3.3】[[行列式の計算]]|


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#contents

// *とりあえず単位を取りたい
// 行列式についてとりあえず知っておくべきことは、
// (1)行列式の図形的な意味
// (2)行列式の計算方法
// である。
[[前回>行列式と面積]]、二次正方行列の行列式と面積についての関係を見た。
今回は、行列式のちゃんとした定義を追う。

// **行列式の図形的な意味
// 例えば点を結んで図形を作っているとき、その図形の全ての座標に二次正方行列を掛け算すると、点が移動して新たな図形を作る。元の図形に比べて新たな図形の面積が何倍になったか。これが二次の行列式の値となる。
// もし三次元ならば、図形の体積が何倍になるかが、行列式の値である。
// 多次元でもその次元に見合った体積っぽいものが何倍されるかが、行列式の値である。

// **行列の計算方法
// -行を何倍かして別の行に足し算（や引き算）できる。
// -列を何倍かして別の列に足し算（や引き算）できる。
// -一つの行をすべてc倍すると、行列式もc倍になる。
// -一つの列をすべてc倍すると、行列式もc倍になる。
// -二つの行を交換すると、行列式の正負が逆になる
// -二つの列を交換すると、行列式の正負が逆になる
// -0だけの行や列があったら、行列式も0
// -

*行列式のグラフ上の面積 [#t3bb960a]
*ちゃんとしたn次行列式の定義 [#def]

**二次の行列式と面積。 [#i135c6b6]
すべての成分が&mathjax{\mathbb{R}};(実数)である&mathjax{n};次正方行列&mathjax{A};について、それに対応するスカラー値である行列式は&mathjax{ \det(A)};または&mathjax{|A|};と表記する。

二次正方行列を見てみると、二本の縦ベクトルと見ることもできる。

&mathjax{A=\left(\begin{array}{ccc}a_x 　 b_x \\a_y 　 b_y \\\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{c}a_x\\a_y\\\end{array}\right) と \left(\begin{array}{c}b_x\\b_y\\\end{array}\right)};
&mathjax{ \det(A)};つまり&mathjax{|A|};は、以下の【A-1】、【A-2】、【A-3】の三つの性質により定義される。
*【A-1】定義1：列に関する線形多重性 [#a1]
&mathjax{a_{pj} = \lambda b_{pj} + \mu c_{pj} , (p=1,2,\dots,n) }; とするとき、
  
&mathjax{ \det(A)= \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{a_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{a_{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};

（二次正方行列の）行列式とは、この二本の縦ベクトルで作れる平行四辺形の&color(Gray){（符号付きの）};面積のことを言い、

&mathjax{\left|\begin{array}{cc}a_x & b_x \\a_y & b_y \\\end{array}\right| }; あるいは &mathjax{\det A };　と表記する。
&mathjax{=\left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{\lambda b_{1j} + \mu c{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{\lambda b_{2j} + \mu c{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{\lambda b_{nj} + \mu c{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};


#ref(Det1.png,nolink)

では、片方のベクトルを長くすると、どうなるか。

#ref(Det2.png,nolink)
&mathjax{= \textcolor{red}{\lambda} \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{b_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{b_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{b_{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|}; &mathjax{+ \textcolor{red}{\mu} \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{c_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{c_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{c_{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};

&mathjax{\vec{a}}; を &mathjax{\lambda \vec{a}}; に伸ばすと、面積も &color(Red){&mathjax{\lambda}; 倍};になった。

同じことは&mathjax{\vec{b}};を伸ばした場合にも言える。

このことから、

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} \lambda\ a_x & b_x \\\lambda\ a_y & b_y \\\end{array}\right|= \lambda \left|\begin{array}{cc}a_x & b_x \\a_y & b_y \\\end{array}\right| }; 
*【A-2】定義2：退化条件 [#a2]

という計算式が成り立つことが分かった。
&mathjax{j}; 列と &mathjax{k}; 列が等しいとき、&mathjax{ \det(A)=0};

***負の面積？ [#l6214e67]
つまり、

では、&mathjax{\lambda }; を負にするとどうなるか。
&mathjax{a_{pj} = a_{pk} = b_p , (p=1,2,\dots,n)};のとき、

#ref(Det3.png,nolink)
&mathjax{\det(A)};

負の面積っていうのも、ピンと来ないかもしれないが、''反対側''に&mathjax{\lambda }; 倍になってるのを見ると、負の面積というのも許していいかな……？という風に思える（思って）。
&mathjax{= \left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};

*二次の線形多重性 [#h2782e9e]
&mathjax{= \left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{b_{1}} & \dots & \textcolor{red}{b_{1}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{b_{2}} & & \textcolor{red}{b_{2}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{b_{n}} & \dots & \textcolor{red}{b_{n}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};

&mathjax{};
&mathjax{\large =0};
*【A-3】定義3:正規化条件 [#a3]
&mathjax{ \det(E_n)=1};

#ref(Det4.png,nolink)
*以下執筆中 [#vc823947]
つまり、単位行列の行列式は &mathjax{1};






*コメント [#s7e41e71]

#pcomment