行列式の定義 のバックアップ差分(No.2)

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【2.2.3】線形代数学 Linear algebra
【2.2.3.3】行列式 Determinant
【2.2.3.3.1】行列式の定義

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#contents

// *とりあえず単位を取りたい
// 行列式についてとりあえず知っておくべきことは、
// (1)行列式の図形的な意味
// (2)行列式の計算方法
// である。

// **行列式の図形的な意味
// 例えば点を結んで図形を作っているとき、その図形の全ての座標に二次正方行列を掛け算すると、点が移動して新たな図形を作る。元の図形に比べて新たな図形の面積が何倍になったか。これが二次の行列式の値となる。
// もし三次元ならば、図形の体積が何倍になるかが、行列式の値である。
// 多次元でもその次元に見合った体積っぽいものが何倍されるかが、行列式の値である。

// **行列の計算方法
// -行を何倍かして別の行に足し算（や引き算）できる。
// -列を何倍かして別の列に足し算（や引き算）できる。
// -一つの行をすべてc倍すると、行列式もc倍になる。
// -一つの列をすべてc倍すると、行列式もc倍になる。
// -二つの行を交換すると、行列式の正負が逆になる
// -二つの列を交換すると、行列式の正負が逆になる
// -0だけの行や列があったら、行列式も0
// -

*行列式のグラフ上の面積 [#t3bb960a]

**二次の行列式と面積。 [#i135c6b6]

二次正方行列を見てみると、二本の縦ベクトルと見ることもできる。
&mathjax{\left(\begin{array}{ccc}a_x 　 b_x \\a_y 　 b_y \\\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{c}a_x\\a_y\\\end{array}\right) と \left(\begin{array}{c}b_x\\b_y\\\end{array}\right)};
この二本の縦ベクトルが作る平行四辺形を考えてみる。

&mathjax{A=\left(\begin{array}{ccc}a_x 　 b_x \\a_y 　 b_y \\\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{c}a_x\\a_y\\\end{array}\right) と \left(\begin{array}{c}b_x\\b_y\\\end{array}\right)};

（二次正方行列の）行列式とは、この二本の縦ベクトルで作れる平行四辺形の&color(Gray){（符号付きの）};面積のことを言い、

&mathjax{\left|\begin{array}{cc}a_x & b_x \\a_y & b_y \\\end{array}\right| }; あるいは &mathjax{\det A };　と表記する。


#ref(Det1.png,nolink)

では、片方のベクトルを長くすると、どうなるか。

#ref(Det2.png,nolink)

&mathjax{\vec{a}}; を &mathjax{\lambda \vec{a}}; に伸ばすと、面積も &color(Red){&mathjax{\lambda}; 倍};になった。

同じことは&mathjax{\vec{b}};を伸ばした場合にも言える。

このことから、

&mathjax{\left|\begin{array}{rr} \lambda\ a_x & b_x \\\lambda\ a_y & b_y \\\end{array}\right|= \lambda \left|\begin{array}{cc}a_x & b_x \\a_y & b_y \\\end{array}\right| }; 

という計算式が成り立つことが分かった。

***負の面積？ [#l6214e67]

では、&mathjax{\lambda }; を負にするとどうなるか。

#ref(Det3.png,nolink)

負の面積っていうのも、ピンと来ないかもしれないが、''反対側''に&mathjax{\lambda }; 倍になってるのを見ると、負の面積というのも許していいかな……？という風に思える（思って）。

*二次の線形多重性 [#h2782e9e]

&mathjax{};

#ref(Det4.png,nolink)
*以下執筆中 [#vc823947]


#pcomment