基本変形と行列式 のバックアップ差分(No.2)

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【[[2.2]]】代数学 Algebra
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【[[2.2.3.3]]】行列式 Determinant
【[[2.2.3.3.3]]】行列式の計算

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#contents


*【P-1】別の列に実数倍加算の証明 [#v8a0e7aa]
ある列を実数倍して、別の列に足しても、行列式は等しいことを証明する。

&mathjax{\left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}}+r\textcolor{blue}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}}+r\textcolor{blue}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}}+r\textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};

&color(Maroon){線形多重性より、};


&mathjax{=\left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};&mathjax{+ \Large r \normalsize \left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{blue}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};

&color(Maroon){同じ列がある行列式について、退化条件より、};

&mathjax{=\left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};


*【P-2】ある列をスカラー倍 [#P2]

これも列の線形多重性の簡易版と考えることができるため、特に計算を要することななく、以下のことが言える。

&mathjax{\left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{c}\textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{c}\textcolor{blue}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{c}\textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};&mathjax{=\Large \textcolor{red}{c} \normalsize \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right|};