内部二項演算 のバックアップの現在との差分(No.1)

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#contents


*内部二項演算 [#cde5fe5b]

名前は仰々しいが、四則計算、つまり足し算（と引き算）や掛け算（と割り算）などを拡張したものである。
例えば、2つの''実数''の''足し算''の演算結果はやはり''実数''になる。
あるいは2つの''複素数''の''足し算''の演算結果はやはり''複素数''になる。
この計算には、結合法則、分配法則、可換などの性質がある。
''どんな集合''に対して、''どんな計算''をするのかによって、性質は異なるため、特徴を挙げて整理していくことになる。

※内部があれば外部もある「[[外部二項演算]]」を参照。

*演算の特徴 [#u8c60bbe]

実数の足し算を脳裏に描きつつ、基本的な法則を見ていく。
ただし、本来は様々な集合の様々な演算の性質を考えるので、
集合は&mathjax{\mathbb{R}};や&mathjax{\mathbb{C}};ではなく、&mathjax{\mathbf{M}};と表記する。
演算は足し算記号ではなく&mathjax{x \circ y};のように表記する。


**【閉性】 [#m841c965]
**閉性 [#m841c965]
&mathjax{x,y \in \mathbf{M}};のとき、
&mathjax{x \circ y = z};
とすると、&mathjax{z};も&mathjax{z \in \mathbf{M}};となること。

**【結合律】 [#h59437b2]
**結合律 [#h59437b2]
結合法則ともいう。
&mathjax{ ( x \circ y ) z = x ( y \circ z ) };
を満たす。

**【単位律】 [#ud25acbf]
**単位律 [#ud25acbf]
&mathjax{ x \circ e = e \circ x = x };
となる&mathjax{e};（単位元）が存在する。
例えば、実数の足し算では、
&mathjax{ 5 + 0 = 0 + 5 = 5 };
実数の掛け算では、
&mathjax{ \sqrt{2} \times 1 = 1 \times \sqrt{2} = \sqrt{2} };
など。

**【可逆律】 [#ha55aae3]
**可逆律 [#ha55aae3]
&mathjax{ x \circ e = e \circ x =e };
となる&mathjax{e};（逆元）が存在する。
例えば、実数の足し算では、
&mathjax{ 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0 };
、
**【交換法則】 [#p5fc1d73]
**交換法則 [#p5fc1d73]
全ての&mathjax{ x,y};について、
&mathjax{ x \circ y = y \circ x };
となる。

*内部演算の分類 [#j1d192cd]
''ある集合''に対して、''ある演算''することを分類する。
このため、演算の性質を定義するには、集合と演算方法を示す必要がある。
例えば、''実数''の''足し算''なら、 &mathjax{(\mathbb{R},+)}; のように表記し、一般的には&mathjax{(\mathbf{M},\circ)};と表記することにする。（当然、表記の仕方は様々にある。）


**【マグマ magma】 [#s961d3dc]
**マグマ magma [#s961d3dc]
&mathjax{(\mathbf{M},\circ)};が【閉性】を満たす

**【半群 semigroup】 [#q246d165]
**半群 semigroup [#q246d165]
&mathjax{(\mathbf{M},\circ)};が【閉性】【結合律】を満たす。

**【モノイド monoid】 [#wb52a0be]
例えば、&mathjax{ 0};を含めない自然数の加法
&mathjax{(\mathbb{N}_+,+)};
**モノイド monoid [#wb52a0be]
&mathjax{(\mathbf{M},\circ)};が【閉性】【結合律】【単位律】を満たす。

**【群 group】 [#yc2fe644]
例えば、整数、有理数、実数、複素数の乗法。
&mathjax{(\mathbb{Z},\cdot),(\mathbb{Q},\cdot),(\mathbb{R},\cdot),(\mathbb{C},\cdot)};
また、&mathjax{ 0};を含める自然数の加法
&mathjax{(\mathbb{N}_0,+)};
**群 group [#yc2fe644]
&mathjax{(\mathbf{M},\circ)};が【閉性】【結合律】【単位律】【可逆律】を満たす。


**【アーベル群 abelian group】 [#t0a102d6]
**アーベル群 abelian group [#t0a102d6]
可逆群 commutative group ともいう。
&mathjax{(\mathbf{M},\circ)};が【閉性】【結合律】【単位律】【可逆律】【交換法則】を満たす。

**【その他】 [#ced45152]
例えば、整数、有理数、実数、複素数の加法。
&mathjax{(\mathbb{Z},+),(\mathbb{Q},+),(\mathbb{R},+),(\mathbb{C},+)};

また、&mathjax{ 0};を除く有理数、&mathjax{ 0};を除く実数、&mathjax{ 0};を除く複素数の乗法。
&mathjax{(\mathbb{Q} \setminus \{ 0 \},\cdot),(\mathbb{R} \setminus \{ 0 \},\cdot),(\mathbb{C} \setminus \{ 0 \},\cdot)};
**その他 [#ced45152]
組み合わせにはいろいろある（そのうち書く。）
*コメント [#m69ea2bf]

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