FoRWaRD のバックアップ(No.4)

RDBの行をベクトル化し、逐次的投入にも対応した仕組み。
以下の論文で提案。

対象データベースの定義

\( D \)データベース
\( \sigma \)データベーススキーマ（定義全体）
\( R,S \)個々のリレーション名
\( R(A_1 \dots A_k) \)リレーションスキーマの集合
\( A_i \)\( \sigma \)の要素名 (attribute name)
\( \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C} \)要素名の集合
\( \mathbf{B}=B_1 \dots B_\ell \)
\( R.A \)\( \sigma \)の要素(attribute)
\( \mathrm{dom}(R.A) \)\( R.A \)の値域(domain)
\( \mathrm{key}(R) \)\( R \)のキー
\( \mathrm{key}(R) \subseteq R(A_1 \dots A_k) \)
空集合であることが可能
外部キー制約
\( R[\mathbf{B}] \subseteq S[\mathbf{C}] \)
\( \mathrm{key}(S) = S[\mathbf{C}] \)
\( f=R(a_1 \dots a_k) \)行（事実の集合）
\( a_i \in \mathrm{dom}(R.A_i) \)
空値 (null value) の場合、\( \bot \)
\( R \)-fact, \( \sigma \)-factともいう
\( R(D) \)\( f \in R(D) \)
\( f[A_i] \)\( a_i \)の値
\( f[\mathbf{B}] \)\( f[\mathbf{B}]=f[B_1],\dots,f[B_\ell] \)

問題定義

静的DB埋め込み (Static database embedding)
スキーマ\( \sigma \)を持つデータベース\( D \)に対し、
埋め込み関数\( \gamma:D \to \mathbb{R}^k \)を作る。
ただし、ハイパーパラメータ\( k>0 \)
動的DB埋め込み (Dynamic database embedding)
\( \gamma \)を新たな事実\( f \notin D \)に拡張する。
\( \gamma^\prime:D \cup \{f\} \to \mathbb{R}^k \)
ただし、元の値は変更しない。
つまり、\( f^\prime \in D \)に対し\( \gamma^\prime(f^\prime)=\gamma(f^\prime) \)

DB上のランダムウォークの手法

外部キー制約を用いてリレーション間をたどる。
\( R_k[\mathbf{A}^k] \subseteq R_{k+1}[\mathbf{B}^{k+1}] \)または\( R_{k+1}[\mathbf{B}^{k+1}] \subseteq R_k[\mathbf{A}^k] \ \)といった外部キー制約があるとき、\( R_k[\mathbf{A}^k] - R_{k+1}[\mathbf{B}^{k+1}] \)とたどれる。

このとき、距離\( \ell \)のランダムウォークは、下にような経路\( s \)になる。
\( R_0[\mathbf{A}^0] - R_{1}[\mathbf{B}^{1}],R_1[\mathbf{A}^1] - R_{2}[\mathbf{B}^{2}],\dots,R_{\ell-1}[\mathbf{A}^{\ell-1}] - R_{\ell}[\mathbf{B}^{\ell}] \)

このとき、walkは、
\( f_0, \dots ,f_\ell \)
ただし、
\( f_{k-1}(\mathbf{A}^{k-1})=f_k(\mathbf{B}^{k}) \)

ただし、距離0の場合は、\( f_0 \)

\( \mathcal{W}(f,s) \)：事実\( f \)から始まるウォークスキーマ\( s \)のいてのウォークの集合
\( d_{f,s} \)：個々のウォークの最終到達地
\( \mathrm{Pr}(d_{f,s}=g) \)：&mathrm{g\inR^k(D)};で終わる確率
\( d_{f,s}[A] \)：要素\( A \)を持つランダムウォークの到達地

リレーション\( R \)の事実\( f_0}で始まるウォークスキーマ\( s \)においては、\( s \)によって特定される外部キーに添って幅優先探索を行うことで、&mathjax{d_{f,s} \)の分布が計算できる。