行列式の計算 のバックアップ(No.4)

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【2.2.3】線形代数学 Linear algebra
【2.2.3.3】行列式 Determinant
【2.2.3.3.3】行列式の計算

※ このページではMathJax を利用しております。環境によっては数式を表示できないかもしれません。

行列式の計算

行列式の定義から、すべての行列式は計算可能である。
しかし、すべてを定義から計算していては、とても間に合わないし、応用もできない。
そこで、幾つかの計算法が作られている。
ここでは計算法だけを示し、証明は別ページとする

基本変形と行列式

【P-1】別の列に実数倍加算

ある列を実数倍して、別の列に足しても、行列式は変わらない。

\( j \) 列目の実数倍(\( r \)倍)を \( k \) 列目に足す場合

\( \left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)\( =\left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}}+r\textcolor{blue}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}}+r\textcolor{blue}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}}+r\textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)

【P-2】ある列をスカラー倍

\( \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{c}\textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{c}\textcolor{blue}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{c}\textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)\( =\textcolor{red}{c}\left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)

【P-3】交代性

行列の列を交換すると、正負が逆転する

行列の\( j \)列目と\( k \)列目を交換すると、

\( \left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)\( =\textcolor{red}{-}\left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)

行についても成り立つ

列と同様、行についても【P-1】、【P-2】、【P-3】が成り立つ。

三角行列の行列式

以下執筆中

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