行列式の公式 のバックアップ(No.3)

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【Category.2.2.3.3】
行列式 Determinant
前回【2.2.3.3.3】行列式の計算
今回【2.2.3.3.4】行列式の公式
次回【2.2.3.3.5】行列式の存在

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行列式の公式の導出の前に（反転数とか）

行列式の公式を導出するには、行列式の交代性を酷使する。
一回交代させると、正負が逆転するため、
奇数回交代させれば符号が逆に、
偶数回交代させれば符号は同じになる。
よって、何回交代させたかが重要になる。
このために、まずは反転数の概念を導入する。

例えば、\( \sigma = [3,1,4,2] \)という並びがあったとき、
大きい数なのに左に、小さい数なのに右に来ているような数の組み合わせを考えると、
\( (3,1),(3,2),(4,2) \)の三個ある。これを反転数と呼んで、

\( N_\sigma = 3 \)

と書く。

そして、\( 3,1,4,2 \)を\( 1,2,3,4 \)に並び替えるには3回、
つまり反転数\( N_\sigma \)の回数だけ入れ替えてやればいい。

\( [3,1,4,2] \to [1,3,4,2] \to [1,2,4,3] \to [1,2,3,4] \)

行列式の公式

証明するのは後回しにして、先に行列式の公式を書く。

\( \displaystyle \LARGE \sum_{[i_1,1_2,\dots,i_n]\in S} (-1)^{N_{[i_1,i_2,\dots,i_n]}} a_{i_{1}1} a_{i_{2}2} \dots a_{i_{n}n} \)

とはいえ、この公式、見ただけで理解できる人はそうはいないだろう。

\( [i_1,1_2,\dots,i_n]\in S \)は\( 1,2,\dots,n \)の全ての並べ替えパターンに対して、

\( \sum \)、つまり合計しろという意味
\( N_{[i_1,i_2,\dots,i_n]} \)は\( 1,2,\dots,n \)のある並べ替えパターンの時の反転数という意味
\( \large a_{i_{1}1} a_{i_{2}2} \dots a_{i_{n}n} \)は、
\( a_{■1} a_{■2} \dots a_{■n} \) の■に \( 1,2,\dots,n \) のこのときの並び替えパターンを順々に入れていという意味

と考えることができる。


よって、やや行儀が悪いが、こう書き換えることができる。

\( \displaystyle \Large \sum_{1,2,\dots,n の\\全ての並べ替えパターン} (-1)^{(あるパターンの反転数)} \underbrace{a_{■1} a_{■2} \dots a_{■n}}_{■に 1,2,\dots,n の並び替えパターンを順々に入れていく} \)