基本変形と行列式 のバックアップ(No.2)

【2】数学 Mathematics
【2.2】代数学 Algebra
【2.2.3】線形代数学 Linear algebra
【2.2.3.3】行列式 Determinant
【2.2.3.3.3】行列式の計算

【2.2.3.3.2】 行列式の計算
【2.2.3.3.3.a】基本変形と行列式
【2.2.3.3.3.b】三角行列の行列式
【2.2.3.3.3.c】スカラー値を返す関数と行列式
【2.2.3.3.3.d】転地行列と行列式
【2.2.3.3.3.e】行列式の分解

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【P-1】別の列に実数倍加算の証明

ある列を実数倍して、別の列に足しても、行列式は等しいことを証明する。

\( \left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}}+r\textcolor{blue}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}}+r\textcolor{blue}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}}+r\textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)

線形多重性より、

\( =\left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)\( + \Large r \normalsize \left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{blue}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)

同じ列がある行列式について、退化条件より、

\( =\left| \begin{array}{ccccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & \textcolor{red}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & \textcolor{red}{a_{2k}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nj}} & \dots & \textcolor{red}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)

【P-2】ある列をスカラー倍

これも列の線形多重性の簡易版と考えることができるため、特に計算を要することななく、以下のことが言える。

\( \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{red}{c}\textcolor{blue}{a_{1j}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{red}{c}\textcolor{blue}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{red}{c}\textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)\( =\Large \textcolor{red}{c} \normalsize \left| \begin{array}{ccccc} a_{11} & \dots & \textcolor{blue}{a_{1k}} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & & \textcolor{blue}{a_{2j}} & & a_{2n} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & \dots & \textcolor{blue}{a_{nk}} & \dots & a_{nn} \end{array}\right| \)