実数 のバックアップ(No.1)

実数の性質

実数は幾つかの性質を持つが、
教科書では４つの性質に整理されている。

  • 性質[I]：四則計算ができる
  • 性質[II]：大小の順序がつく
  • 性質[III]：稠密性
  • 性質[VI]：連続性

性質[I]：四則計算ができる

　実数に限らず、加減乗除のうち
足し算（加）、引き算、（減）、掛け算（乗）
については整数・有理数の範囲でも成り立つし、
割り算（除）も有理数の範囲で成り立つ。
なじみ深い性質なので、深入りする必要もないだろう。

性質[II]：大小の順序がつく

これも、自然数、整数、有理数の範囲で成り立つ話で、
実数特有ではない。
1＜2
のように、当たり前の話である。
しかし、「大小の順序がつく」ことによって、
以下の二つの性質が引き出せる。

性質：無限である

これは性質[I]と[II]から引き出せる。
どんな実数にも大小の順序がつくということは、
どんな大きい数でも、それより大きな数があることになる。

もし、最後の実数なるものがあると仮定すると、
（最後の実数）＜（最後の実数＋１）
「最後の実数」より大きな数が存在するため、矛盾する。

というわけで、実数や整数に「最後」はなく、無縁である。

性質：アルキメデスの公理

これも性質[I]と[II]から引き出せる。

0＜b＜a
a,b∈Ｒ
つまり、実数aとbを用意して、bがaより小さいとき、
a＜nb となる自然数nが存在する。

具体的に書けば、
a=100
b=3
としたとき、
0＜3＜100
なのだが、
n=34としてやると、
100＜34×3 となる。
（別にnは35だって、100だって、1億だっていい。）

実数aがどんなに大きくても、
実数bがどんなに小さくても、
すごく大きい自然数nをbに掛けてやってnbにすれば、
aを越えることができる。
そういう希望ある数学的結論である。

性質[III]：稠密性

これは有理数の範囲でも成り立つ。
実数が稠密である、つまり、すごくたくさん詰まってるというのは、
高校レベルでも、教科書のレベルでも当然のものとして扱う。

二つの実数、例えば、区間 [ 1.23 , 1.56 ]
つまり、1.23と1.56の間……という狭い範囲ですら、
無限の有理数と実数が含まれている。

性質[VI]：連続性

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