内部二項演算 のバックアップ(No.1)

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内部二項演算

名前は仰々しいが、四則計算、つまり足し算（と引き算）や掛け算（と割り算）などを拡張したものである。
例えば、2つの実数の足し算の演算結果はやはり実数になる。
あるいは2つの複素数の足し算の演算結果はやはり複素数になる。
この計算には、結合法則、分配法則、可換などの性質がある。
どんな集合に対して、どんな計算をするのかによって、性質は異なるため、特徴を挙げて整理していくことになる。

※内部があれば外部もある「外部二項演算」を参照。

演算の特徴

実数の足し算を脳裏に描きつつ、基本的な法則を見ていく。
ただし、本来は様々な集合の様々な演算の性質を考えるので、
集合は$\mathbb{R}$や$\mathbb{C}$ではなく、$\mathbf{M}$と表記する。
演算は足し算記号ではなく$x \circ y$のように表記する。

【閉性】

$x,y \in \mathbf{M}$のとき、
$x \circ y = z$
とすると、$z$も$z \in \mathbf{M}$となること。

【結合律】

結合法則ともいう。
$( x \circ y ) z = x ( y \circ z )$
を満たす。

【単位律】

$x \circ e = e \circ x = x$
となる$e$（単位元）が存在する。
例えば、実数の足し算では、
$5 + 0 = 0 + 5 = 5$
実数の掛け算では、
$\sqrt{2} \times 1 = 1 \times \sqrt{2} = \sqrt{2}$
など。

【可逆律】

$x \circ e = e \circ x =e$
となる$e$（逆元）が存在する。
例えば、実数の足し算では、
$5 + (-5) = (-5) + 5 = 0$
、

【交換法則】

全ての$x,y$について、
$x \circ y = y \circ x$
となる。

内部演算の分類

ある集合に対して、ある演算することを分類する。
このため、演算の性質を定義するには、集合と演算方法を示す必要がある。
例えば、実数の足し算なら、 $(\mathbb{R},+)$ のように表記し、一般的には$(\mathbf{M},\circ)$と表記することにする。（当然、表記の仕方は様々にある。）

【マグマ magma】

$(\mathbf{M},\circ)$が【閉性】を満たす

【半群 semigroup】

$(\mathbf{M},\circ)$が【閉性】【結合律】を満たす。

【モノイド monoid】

$(\mathbf{M},\circ)$が【閉性】【結合律】【単位律】を満たす。

【群 group】

$(\mathbf{M},\circ)$が【閉性】【結合律】【単位律】【可逆律】を満たす。

【アーベル群 abelian group】

可逆群 commutative group ともいう。
$(\mathbf{M},\circ)$が【閉性】【結合律】【単位律】【可逆律】【交換法則】を満たす。

【その他】

組み合わせにはいろいろある（そのうち書く。）