行列

Last-modified: Thu, 19 Dec 2019 12:40:10 JST (1561d)
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ベクトルとの関係

  • 行列はベクトルへの作用素と考えることができる。
  • ベクトルは行列として扱える。縦ベクトルとして扱うことが多い。
  • 縦ベクトル:ベクトルを\( (n\times1) \)の行列、つまり成分が縦に並んだ行列と見なして扱う場合の呼び名。
  • 横ベクトル:ベクトルを\( (1\times n) \)の行列、つまり成分が横に並んだ行列と見なして扱う場合の呼び名。

行列に関する分解・操作

  • 標準固有値問題 (eigenvalue problem):\( A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x} \)
  • 一般化固有値問題 (generalized eigenvalue problem : GEVP) :\( A\mathbf{x} = \lambda B\mathbf{x} \)
  • 特異値分解
  • QR分解
  • LU分解
  • コレスキー分解

行列の種類

(逆行列・転置行列・随伴行列は作用を受けた行列を指す。)

実行列

  • 零行列
  • 正方行列
    • 三角行列
    • 対称行列
      • 正定値実対称行列
    • 直交行列

複素数行列

  • 零行列
  • 正方行列
    • 三角行列
    • 対角行列
    • 正規行列
      • エルミート行列 ← 対称行列
      • ユニタリ行列 ← 直交行列

各論

実対称行列

  • 実対称行列の固有値は実数
  • 実対称行列の固有値の異なる固有ベクトル同士は直交する

正定値実対称行列

  • 正値対称行列、正定値対称行列ともいう
  • \( A = A^\top \)かつ全ての\( \mathbf{x} \neq \mathbf{0} \)に対して\( \mathbf{x}^\top A \mathbf{x} > 0 \)
  • 固有値が全て正

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