線形代数計算規則表

複素数ベクトル空間の標準内積

\( \begin{cases} \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} & \in \mathbb{C}^n \\ \alpha, \beta & \in \mathbb{C} \end{cases} \)のとき。
すなわち\( \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \) が複素数ベクトル、\( \alpha \)が複素数のとき の計算規則。

\( (\mathbf{x} + \mathbf{y},\mathbf{z}) = (\mathbf{x},\mathbf{z}) + (\mathbf{y},\mathbf{z}) \)

\( (\alpha \mathbf{x},\mathbf{y}) = \alpha (\mathbf{x},\mathbf{y}) \)

\( (\mathbf{x}, \beta \mathbf{y}) = \overline{\beta} (\mathbf{x},\mathbf{y}) \)

\( (\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \overline{ (\mathbf{y},\mathbf{x}) } \)

\( \displaystyle (\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sum_{k=1}^{n} x_k\overline{y_k} \)

\( (\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \mathbf{x}^H \overline{\mathbf{y}} \)

※\( \mathbf{x}^H \)は\( \mathbf{x} \)の随伴（共役＆転置）

\( (A \mathbf{x}, \mathbf{y}) = (\mathbf{x}, A^H \mathbf{y}) \)

※\( A^H \)は\( A \)の随伴（共役＆転置）

複素数もつ行列の定義・計算

随伴行列

\( A \)の随伴行列は\( A^H = \overline{A}^T = \overline{A^T} \)

ユニタリー行列

\( A^H = A \)
実数における直交行列：\( A^T = A \)の拡張

対称行列

対称行列

\( A=A^\top \)

実対称行列

\( A=A^\top, A \in \mathbb{R^{n\times n}} \)
・固有値は全て実数
・異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交

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