行列

ベクトルとの関係

• 行列はベクトルへの作用素と考えることができる。
• ベクトルは行列として扱える。縦ベクトルとして扱うことが多い。
• 縦ベクトル：ベクトルを\( (n\times1) \)の行列、つまり成分が縦に並んだ行列と見なして扱う場合の呼び名。
• 横ベクトル：ベクトルを\( (1\times n) \)の行列、つまり成分が横に並んだ行列と見なして扱う場合の呼び名。

行列に関する分解・操作

• 標準固有値問題 (eigenvalue problem)：\( A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x} \)
• 一般化固有値問題 (generalized eigenvalue problem : GEVP) ：\( A\mathbf{x} = \lambda B\mathbf{x} \)
• 特異値分解
• QR分解
• LU分解
• コレスキー分解

行列の種類

（逆行列・転置行列・随伴行列は作用を受けた行列を指す。）

実行列

• 零行列
• 正方行列
  • 三角行列
  • 実対称行列
    • 正定値実対称行列
  • 実直交行列

複素数行列

• 零行列
• 正方行列
  • 三角行列
  • 対角行列
  • 正規行列
    • エルミート行列 ← 対称行列
    • ユニタリ行列 ← 直交行列

各論

実対称行列

• 実対称行列の固有値は実数
• 実対称行列の固有値の異なる固有ベクトル同士は直交する

正定値実対称行列

• 正値対称行列、正定値対称行列ともいう
• \( A = A^\top \)かつ全ての\( \mathbf{x} \neq \mathbf{0} \)に対して\( \mathbf{x}^\top A \mathbf{x} > 0 \)
• 固有値が全て正

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